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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
D’autre part, la proposition 5.4.5, qui compare les deux notions de nondégénérescence (des points critiques de la fonction H, des trajectoires périodiques du hamiltonien H), implique que H est de Morse et que Crit(A H ) =
Crit(H).
Grâce à la remarque 5.4.6, nous savons que la hessienne de H n’a aucune
valeur propre dans 2πZ, de sorte que la proposition 7.2.1 nous permet de
comparer l’indice (de Morse) d’un point critique de H à l’indice (de Maslov)
de la trajectoire constante correspondante :
Ind H (x) = μ(x) + n,
ce qui implique que les espaces vectoriels intervenant dans les définitions
des deux complexes sont les mêmes au décalage d’indices près.
Il faut ensuite considérer les deux différentielles. Plus exactement, il faut
– pouvoir définir les différentielles des deux complexes,
– montrer qu’elles coïncident.
Pour définir la différentielle du complexe de Morse, nous avons besoin
d’un champ de vecteurs X adapté à la fonction de Morse H et qui satisfasse
à la condition de Smale. D’autre part, nous voulons qu’il y ait une relation
entre les trajectoires de ce champ de vecteurs et les solutions de l’équation
de Floer
du
ds
+ X(u) = 0 et
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H(u) = 0.
Nous voulons donc que X soit le gradient de la fonction H pour la métrique définie par une structure presque complexe J calibrée par ω. Nous
démontrerons donc :
Théorème 10.1.2. Soit H une fonction de Morse sur la variété symplectique
(W, ω). Il existe une partie dense J r´ eg (H) de structures presque complexes J
calibrées par ω telles que le couple (H, −JX H ) soit de Morse-Smale.
Nous décomposerons la démonstration en deux étapes. La première étape
sera consacrée à une fonction de Morse générale f et à un champ adapté X.
Nous linéariserons l’équation
du
ds
+ X(u) = 0
du flot du champ −X le long d’une de ses solutions en L u Y = 0, puis nous
montrerons :
Théorème 10.1.3. Lorsque f est une fonction de Morse et u une trajectoire
joignant deux points critiques x et y, L u est un opérateur de Fredholm dont
l’indice est la différence des indices de Morse des deux points critiques.
CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
D’autre part, la proposition 5.4.5, qui compare les deux notions de nondégénérescence (des points critiques de la fonction H, des trajectoires périodiques du hamiltonien H), implique que H est de Morse et que Crit(A H ) =
Crit(H).
Grâce à la remarque 5.4.6, nous savons que la hessienne de H n’a aucune
valeur propre dans 2πZ, de sorte que la proposition 7.2.1 nous permet de
comparer l’indice (de Morse) d’un point critique de H à l’indice (de Maslov)
de la trajectoire constante correspondante :
Ind H (x) = μ(x) + n,
ce qui implique que les espaces vectoriels intervenant dans les définitions
des deux complexes sont les mêmes au décalage d’indices près.
Il faut ensuite considérer les deux différentielles. Plus exactement, il faut
– pouvoir définir les différentielles des deux complexes,
– montrer qu’elles coïncident.
Pour définir la différentielle du complexe de Morse, nous avons besoin
d’un champ de vecteurs X adapté à la fonction de Morse H et qui satisfasse
à la condition de Smale. D’autre part, nous voulons qu’il y ait une relation
entre les trajectoires de ce champ de vecteurs et les solutions de l’équation
de Floer
du
ds
+ X(u) = 0 et
∂u
∂s
+ J(u)
∂u
∂t
+ grad H(u) = 0.
Nous voulons donc que X soit le gradient de la fonction H pour la métrique définie par une structure presque complexe J calibrée par ω. Nous
démontrerons donc :
Théorème 10.1.2. Soit H une fonction de Morse sur la variété symplectique
(W, ω). Il existe une partie dense J r´ eg (H) de structures presque complexes J
calibrées par ω telles que le couple (H, −JX H ) soit de Morse-Smale.
Nous décomposerons la démonstration en deux étapes. La première étape
sera consacrée à une fonction de Morse générale f et à un champ adapté X.
Nous linéariserons l’équation
du
ds
+ X(u) = 0
du flot du champ −X le long d’une de ses solutions en L u Y = 0, puis nous
montrerons :
Théorème 10.1.3. Lorsque f est une fonction de Morse et u une trajectoire
joignant deux points critiques x et y, L u est un opérateur de Fredholm dont
l’indice est la différence des indices de Morse des deux points critiques.