CHAPITRE 10
DE FLOER À MORSE
Dans ce chapitre, nous démontrons que, dans le cas d’un hamiltonien
non dégénéré ne dépendant pas du temps et assez petit (au sens de la
topologie C
2 ), lorsque l’on peut définir le complexe de Morse et celui de
Floer, les deux coïncident.
10.1. Les énoncés
Dans un souci de simplicité et de légèreté, nous avons utilisé plus ou
moins la même notation pour le complexe de Morse (au chapitre 3) et pour
le complexe de Floer (au chapitre 9). Il convient maintenant de les distinguer
(pour démontrer qu’ils coïncident). Pour plus de clarté, nous notons donc ici
CF (H, J) le complexe de Floer associé au hamiltonien H et à la structure
presque complexe J (qui s’appelait (C , ∂) au chapitre 9) et CM (H, J)
le complexe de Morse associé à la fonction de Morse H et au champ de
vecteurs grad H, gradient de H pour la métrique définie par J (et ω) (qui
s’appelait (C (H), ∂ grad H ) au chapitre 3).
Et nous voulons démontrer :
Théorème 10.1.1. Il existe un H non dégénéré et assez petit (au sens de la
topologie C
2 ), pour lequel
CF (H, J) = CM +n (H, J).
Cet énoncé contient bien sûr le fait que les deux complexes en question sont bien définis. En partant d’un hamiltonien H 0 non dégénéré, nous
construirons H de la forme H = H 0 /k pour un k assez grand.
Le fait que H soit assez petit garantit que ses trajectoires périodiques
sont constantes (c’est la proposition 6.1.5), donc Crit(A H ) = Crit(H).