9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
323
Pour 0 ≤ ε ≤ ε 1 , considérons l’ensemble U ε ⊂ M(x, z) défini par
U ε = ψ ν [ρ ν , +∞[ ∪
ρn>ρ ν
exp wn (i(γ n (h))) | |h ≤ ε
.
Par ce qui précède,
n ∈ U ε pour n assez grand. Plus généralement,
pour tout ε fixé (ε ≤ ε 1 ),
n ∈ U ε pour n ≥ N ε , en conséquence des
propositions 9.6.3 et 9.6.4 ainsi que de l’unicité dans le lemme 9.6.16. Par
ailleurs, U ε est connexe par arcs, donc sa projection I ε ⊂ L(x, z) est un
intervalle.
Lemme 9.6.18. Il existe ε 2 tel que 0 < ε 2 < ε 1 et
I ε2 ⊂ [a, 1[ =
ψ ν ([ρ ν , +∞[).
Démonstration. Par construction I 0 = [c, 1[, avec c > a. Si la conclusion
du lemme était fausse, on aurait une suite ε k , décroissant vers 0 et telle
que I ε k ⊃ [a, 1[, I ε k = [a, 1[ (puisque, pour tout ε, I ε est un intervalle qui
contient I 0 = [c, 1[). En particulier, on aurait des trajectoires λ k ∈ U ε k telles
que
λ k ∈ [a − δ 1 , a − δ 2 ] ⊂ L(x, z) pour δ 1 , δ 2 petits.
En particulier, λ k ∈ ψ ν ([ρ ν , +∞[) = [c, 1[. Posons alors
λ k = exp wn k
(i(γ nk (h k ))) avec h k < ε k .
On distingue deux cas :
(1) Si n k tend vers l’infini, alors
lim
k→+∞
γ nk (h k ) W 1,p = 0.
En effet, d’après le lemme 9.6.16,
γ n k (h k ) W 1,p ≤ ≤h k W 1,p + C
F(0)
L p
≤ ε k + C
F(w n k )
L p
et le membre de droite tend vers 0 quand k tend vers l’infini. Comme au
lemme 9.4.16, on a donc
lim
k→+∞
λ k = (u, v) dans L(x, z),
ce qui est impossible puisque
λ k ∈ [a − δ 1 , a − δ 2 ] ⊂ L(x, z). Nous avons
utilisé le fait que la topologie de L(x, z) est séparée, comme nous l’avons
démontré au § 9.1.
(2) Si au contraire la suite n k est bornée, elle admet une sous-suite
constante (n 0 ). En nous restreignant à cette sous-suite, nous avons donc
λ k = exp wn 0 (i(γ n0 (h k ))) pour tout k.
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
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Pour 0 ≤ ε ≤ ε 1 , considérons l’ensemble U ε ⊂ M(x, z) défini par
U ε = ψ ν [ρ ν , +∞[ ∪
ρn>ρ ν
exp wn (i(γ n (h))) | |h ≤ ε
.
Par ce qui précède,
n ∈ U ε pour n assez grand. Plus généralement,
pour tout ε fixé (ε ≤ ε 1 ),
n ∈ U ε pour n ≥ N ε , en conséquence des
propositions 9.6.3 et 9.6.4 ainsi que de l’unicité dans le lemme 9.6.16. Par
ailleurs, U ε est connexe par arcs, donc sa projection I ε ⊂ L(x, z) est un
intervalle.
Lemme 9.6.18. Il existe ε 2 tel que 0 < ε 2 < ε 1 et
I ε2 ⊂ [a, 1[ =
ψ ν ([ρ ν , +∞[).
Démonstration. Par construction I 0 = [c, 1[, avec c > a. Si la conclusion
du lemme était fausse, on aurait une suite ε k , décroissant vers 0 et telle
que I ε k ⊃ [a, 1[, I ε k = [a, 1[ (puisque, pour tout ε, I ε est un intervalle qui
contient I 0 = [c, 1[). En particulier, on aurait des trajectoires λ k ∈ U ε k telles
que
λ k ∈ [a − δ 1 , a − δ 2 ] ⊂ L(x, z) pour δ 1 , δ 2 petits.
En particulier, λ k ∈ ψ ν ([ρ ν , +∞[) = [c, 1[. Posons alors
λ k = exp wn k
(i(γ nk (h k ))) avec h k < ε k .
On distingue deux cas :
(1) Si n k tend vers l’infini, alors
lim
k→+∞
γ nk (h k ) W 1,p = 0.
En effet, d’après le lemme 9.6.16,
γ n k (h k ) W 1,p ≤ ≤h k W 1,p + C
F(0)
L p
≤ ε k + C
F(w n k )
L p
et le membre de droite tend vers 0 quand k tend vers l’infini. Comme au
lemme 9.4.16, on a donc
lim
k→+∞
λ k = (u, v) dans L(x, z),
ce qui est impossible puisque
λ k ∈ [a − δ 1 , a − δ 2 ] ⊂ L(x, z). Nous avons
utilisé le fait que la topologie de L(x, z) est séparée, comme nous l’avons
démontré au § 9.1.
(2) Si au contraire la suite n k est bornée, elle admet une sous-suite
constante (n 0 ). En nous restreignant à cette sous-suite, nous avons donc
λ k = exp wn 0 (i(γ n0 (h k ))) pour tout k.