322
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
en vertu de la proposition 9.4.7 et du lemme 9.4.4. Avec le lemme 9.6.16,
G(dF ) γn(h) − Id
≤ CK (h W 1,p + GF (0) W 1,p )
= CK (h W 1,p + GF(w n ) W 1,p )
≤ CK (h W 1,p + C F(w n ) L p ) .
Nous avons déjà remarqué que lim F(w n ) L p = 0. Les constantes C et K ne
dépendent pas de n. Pour un ε 1 indépendant de n tel que 0 < ε 1 < ε 0 /5 et
pour n assez grand, l’inégalité ci-dessus montre que d(dF ) γn(h) est inversible
pour h W 1,p ≤ ε 1 (G est inversible par la proposition 9.4.7). Donc D 2 F est
inversible. On peut donc appliquer le théorème des fonctions implicites pour
conclure que h → γ n (h) − h est continue et donc que h → γ n (h) l’est.
Démontrons maintenant la proposition 9.6.5.
Démonstration de la proposition 9.6.5. Par les propositions 9.6.3 et 9.6.4,
nous savons que
n = exp wn Y n avec lim
n→+∞
Y n W 1,p = 0.
Comme dans l’étape 3, on écrit Y n = i(ζ n ) pour
i : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ W
1,p (R × S
1 ; R
m ).
Nous avons donc que lim ζ n W 1,p = 0. Décomposons
ζ n = h n + ω
n ∈ Ker L ⊕ W
⊥
(on a ω
n = GL(ζ n ) et h n = ζ n − GL(ζ n )). Rappelons que W
⊥ , G et L
dépendent aussi de n. Nous savons que les normes opératorielles de G et L
sont majorées par des constantes indépendantes de n : pour G grâce à
la proposition 9.4.7 et pour L grâce au lemme 13.5.1 (encore un lemme
technique démontré au chapitre 13). Donc, la norme W
1,p de h n , qui est
majorée par ζ n W 1,p +G
op L
op ζ n W 1,p , tend vers 0 quand n tend vers
l’infini. En particulier, pour n assez grand, h n W 1,p < ε 1 , où ε 1 est celui
donné par le lemme 9.6.17. En vertu de la partie unicité du lemme 9.6.16,
on a alors ζ n = γ n (h n ) et donc
n = exp wn i(γ n (h n )) est une solution
obtenue par la méthode de Newton-Picard. Montrons que sa projection sur
L(x, z) se trouve bien dans l’image de ψ ν : [ρ ν , +∞[ → L(x, z).
Remarquons que, comme w n = w ν,ρn et comme, par construction de ψ ν ,
ψ ν (ρ n ) = exp wn (γ n (0)), la conclusion est valide si h n = 0. Dans le cas
général, on utilise un argument de connexité qui s’appuie sur la continuité
de h → γ n (h) que nous venons d’établir (lemme 9.6.17). Comme dans la
preuve de la proposition 9.6.1, on identifie la composante de L(x, z) qui
contient Im
ψ ν avec ]0, 1[ et l’image de
ψ ν avec [a, 1[. Soit ρ ν > ρ ν et tel que
ψ ν ([ρ ν , +∞[) = [c, 1[ avec c > a.
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
en vertu de la proposition 9.4.7 et du lemme 9.4.4. Avec le lemme 9.6.16,
G(dF ) γn(h) − Id
≤ CK (h W 1,p + GF (0) W 1,p )
= CK (h W 1,p + GF(w n ) W 1,p )
≤ CK (h W 1,p + C F(w n ) L p ) .
Nous avons déjà remarqué que lim F(w n ) L p = 0. Les constantes C et K ne
dépendent pas de n. Pour un ε 1 indépendant de n tel que 0 < ε 1 < ε 0 /5 et
pour n assez grand, l’inégalité ci-dessus montre que d(dF ) γn(h) est inversible
pour h W 1,p ≤ ε 1 (G est inversible par la proposition 9.4.7). Donc D 2 F est
inversible. On peut donc appliquer le théorème des fonctions implicites pour
conclure que h → γ n (h) − h est continue et donc que h → γ n (h) l’est.
Démontrons maintenant la proposition 9.6.5.
Démonstration de la proposition 9.6.5. Par les propositions 9.6.3 et 9.6.4,
nous savons que
n = exp wn Y n avec lim
n→+∞
Y n W 1,p = 0.
Comme dans l’étape 3, on écrit Y n = i(ζ n ) pour
i : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ W
1,p (R × S
1 ; R
m ).
Nous avons donc que lim ζ n W 1,p = 0. Décomposons
ζ n = h n + ω
n ∈ Ker L ⊕ W
⊥
(on a ω
n = GL(ζ n ) et h n = ζ n − GL(ζ n )). Rappelons que W
⊥ , G et L
dépendent aussi de n. Nous savons que les normes opératorielles de G et L
sont majorées par des constantes indépendantes de n : pour G grâce à
la proposition 9.4.7 et pour L grâce au lemme 13.5.1 (encore un lemme
technique démontré au chapitre 13). Donc, la norme W
1,p de h n , qui est
majorée par ζ n W 1,p +G
op L
op ζ n W 1,p , tend vers 0 quand n tend vers
l’infini. En particulier, pour n assez grand, h n W 1,p < ε 1 , où ε 1 est celui
donné par le lemme 9.6.17. En vertu de la partie unicité du lemme 9.6.16,
on a alors ζ n = γ n (h n ) et donc
n = exp wn i(γ n (h n )) est une solution
obtenue par la méthode de Newton-Picard. Montrons que sa projection sur
L(x, z) se trouve bien dans l’image de ψ ν : [ρ ν , +∞[ → L(x, z).
Remarquons que, comme w n = w ν,ρn et comme, par construction de ψ ν ,
ψ ν (ρ n ) = exp wn (γ n (0)), la conclusion est valide si h n = 0. Dans le cas
général, on utilise un argument de connexité qui s’appuie sur la continuité
de h → γ n (h) que nous venons d’établir (lemme 9.6.17). Comme dans la
preuve de la proposition 9.6.1, on identifie la composante de L(x, z) qui
contient Im
ψ ν avec ]0, 1[ et l’image de
ψ ν avec [a, 1[. Soit ρ ν > ρ ν et tel que
ψ ν ([ρ ν , +∞[) = [c, 1[ avec c > a.