9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
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(donc ϕ est contractante), d’où il suit que
lim x n = γ h ∈ B(0, ε 0 ) ∩ {h + Im G}
et ϕ(γ h ) + h = γ h . On a donc
L(γ h ) = L(ϕ(γ h ) + h) = Lϕ(γ h ) = L(γ h ) − F (γ h )
ce qui entraîne que F (γ h ) = 0.
Montrons l’unicité : si γ ∈ h + Im G ∩ B(0, ε 0 ) satisfait à F (γ) = 0, on
pose γ = h + G(y) et on obtient
ϕ(γ) = GL(γ) = GL(h + G(y)) = GLG(y) = G(y) = γ − h
donc γ = ϕ(γ) + h. Mais cette équation admet une unique solution car ϕ
est contractante comme nous l’avons vu.
Appliquons le lemme 9.6.16 à l’opérateur F : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) →
L
p (R × S
1 ; R
2n ) (que nous avons défini grâce à la trivialisation unitaire Z i
le long de w n ). Si n est assez grand, pour que les hypothèses du lemme 9.6.16
soient satisfaites et pour h ∈ Ker L = Ker(DF ) 0 avec h ≤ ε 0 /5, nous
obtenons des éléments γ n (h) ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tels que
exp wn (i(γ n (h))) ∈ M(x, z).
Nous avons besoin de la continuité de ces solutions par rapport à h :
Lemme 9.6.17. Il existe un réel ε 1 > 0 indépendant de n, avec ε 1 < ε 0 /5 et
tel que, pour h ≤ ε 1 , l’application h → γ n (h) soit continue.
Démonstration. C’est une application du théorème des fonctions implicites.
Rappelons la décomposition en somme directe
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) = Ker L ⊕ W
⊥
(dépendant du pré-recollement w n considéré) et le fait que γ n (h) ∈ h + W
⊥ .
Définissons, pour n fixé,
F : Ker L ⊕ W
⊥
−→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
par F (h, ω) = F (h + ω), de sorte que F (h, γ n (h) − h) = 0. Montrons que
(D 2 F ) (h,γn(h)−h) = (dF ) (γn(h)) : W
⊥
−→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
est inversible. On procède comme dans la preuve du lemme 9.4.14 :
G(dF ) γn(h) − Id
=
G(dF ) γn(h) − G(dF ) 0
≤ C
(dF ) γn(h) − (dF ) 0
≤ CK γ n (h) W 1,p