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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Montrons que le membre de droite tend vers 0. Nous savons que
lim Y n L ∞ = 0 (par la proposition 9.6.3) et que lim χ n W 1,p = 0 (par le
lemme 9.6.14). De plus, comme
F(0) = F(w n ) s’annule pour s ∈ [−1, 1],
on a
F(0)
L p = F(w n ) L p ([−1,1]×S 1 ;R m ) .
Puisque lim w n = y uniformément sur les compacts de R × S
1 et F(y) = 0,
on a lim n→+∞
F(0) L p = 0, ce qui montre que le membre de droite de
notre inégalité tend bien vers 0 et ce qui termine la démonstration de la
proposition 9.6.4.
9.6.d. Étape 4 (et dernière). Nous commençons par une version plus générale de la méthode de Newton-Picard, une généralisation du lemme 9.4.4,
dont nous conservons les notations.
Lemme 9.6.16. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit F : X → Y
une application continue. On écrit
F (x) = F (0) + L(x) + N (x)
où L(x) = (dF ) 0 (x) et on suppose qu’il existe G : Y → X, continue telle
que
(1) L ◦ G = Id ;
(2) GN (x) − GN (y) ≤ C(x + y) x − y pour tous x, y ∈ B(0, r) ;
(3) GF (0) ≤ ε 0 /2 où ε 0 = min (r, 1/5C).
Soit h ∈ Ker L tel que h < ε 0 /5. Alors il existe un unique γ h ∈
(h + Im G) ∩ B(0, ε 0 ) tel que F (γ h ) = 0. De plus
γ h ≤ ≤GF (0) + h .
Démonstration du lemme 9.6.16. Elle est similaire à celle du lemme originel
9.4.4. On considère l’application ϕ : B(0, ε 0 ) → Im G définie par
ϕ(x) = G(L(x) − F (x)) = −G(F (0) + N (x))
qui vérifie donc L(ϕ(x)) = L(x) − F (x). On définit ensuite la suite
x 0 = h, x n+1 = ϕ(x n ) + h.
Comme dans la démonstration du lemme 9.4.4, on a, pour x ∈ B(0, ε 0 ),
ϕ(x) + h ≤ ≤ϕ(x) + h ≤
ε 0
2
+
ε 0
5
+
ε 0
5
< ε 0
ce qui montre que x n ∈ B(0, ε 0 ) pour tout n. Toujours en suivant la démonstration du lemme 9.4.4, on a ensuite
x n+1 − x n = ϕ(x n ) − ϕ(x n−1 ) ≤
1
2
x n − x n−1
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Montrons que le membre de droite tend vers 0. Nous savons que
lim Y n L ∞ = 0 (par la proposition 9.6.3) et que lim χ n W 1,p = 0 (par le
lemme 9.6.14). De plus, comme
F(0) = F(w n ) s’annule pour s ∈ [−1, 1],
on a
F(0)
L p = F(w n ) L p ([−1,1]×S 1 ;R m ) .
Puisque lim w n = y uniformément sur les compacts de R × S
1 et F(y) = 0,
on a lim n→+∞
F(0) L p = 0, ce qui montre que le membre de droite de
notre inégalité tend bien vers 0 et ce qui termine la démonstration de la
proposition 9.6.4.
9.6.d. Étape 4 (et dernière). Nous commençons par une version plus générale de la méthode de Newton-Picard, une généralisation du lemme 9.4.4,
dont nous conservons les notations.
Lemme 9.6.16. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit F : X → Y
une application continue. On écrit
F (x) = F (0) + L(x) + N (x)
où L(x) = (dF ) 0 (x) et on suppose qu’il existe G : Y → X, continue telle
que
(1) L ◦ G = Id ;
(2) GN (x) − GN (y) ≤ C(x + y) x − y pour tous x, y ∈ B(0, r) ;
(3) GF (0) ≤ ε 0 /2 où ε 0 = min (r, 1/5C).
Soit h ∈ Ker L tel que h < ε 0 /5. Alors il existe un unique γ h ∈
(h + Im G) ∩ B(0, ε 0 ) tel que F (γ h ) = 0. De plus
γ h ≤ ≤GF (0) + h .
Démonstration du lemme 9.6.16. Elle est similaire à celle du lemme originel
9.4.4. On considère l’application ϕ : B(0, ε 0 ) → Im G définie par
ϕ(x) = G(L(x) − F (x)) = −G(F (0) + N (x))
qui vérifie donc L(ϕ(x)) = L(x) − F (x). On définit ensuite la suite
x 0 = h, x n+1 = ϕ(x n ) + h.
Comme dans la démonstration du lemme 9.4.4, on a, pour x ∈ B(0, ε 0 ),
ϕ(x) + h ≤ ≤ϕ(x) + h ≤
ε 0
2
+
ε 0
5
+
ε 0
5
< ε 0
ce qui montre que x n ∈ B(0, ε 0 ) pour tout n. Toujours en suivant la démonstration du lemme 9.4.4, on a ensuite
x n+1 − x n = ϕ(x n ) − ϕ(x n−1 ) ≤
1
2
x n − x n−1