9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
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En utilisant le repère Z i , on écrit Y n = i(ζ n ) où ζ n ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Ici F désigne l’opérateur de Floer
F =
∂
∂s
+ J
∂
∂t
+ grad(H t ),
l’opérateur F : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) → L
p (R × S
1 ; R
2n ) est défini par
F (ζ) = p(i(ζ),
F(i(ζ))
où
F : W
1,p (R × S
1 ; R
m ) −→ L
p (R × S
1 ; R
m )
est donné par
F(X) = F(exp wn (X)).
Notons L la différentielle DF 0 . Les applications F , p, i,
F, L ci-dessus dépendent de w n et de la trivialisation Z i , donc en particulier de n. Nous
omettrons cette dépendance dans ce qui suit pour ne pas alourdir l’écriture.
Comme au § 9.4, on considère le sous-espace
W n = {α# wn β | α ∈ Ker L
u , β ∈ Ker L
v
}
et son orthogonal
W
⊥
n =
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) |
R×S 1
Y, v ds dt = 0 pour tout v ∈ W n
.
Nous avons remarqué (en 9.4.5 et 9.4.7) que W n et W
⊥
n sont en somme
directe dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) et que W n est de dimension 2. En fait,
W n est engendré par (∂u/∂s)# wn 0 et 0# wn (∂v/∂s). Décomposons ζ n dans
cette somme directe
ζ n = χ n + ω n avec χ n ∈ W n et ω n ∈ W
⊥
n .
Lemme 9.6.14.
lim
n→+∞
χ n W 1,p = 0.
La démonstration de ce lemme (de simples estimations), sera donnée
au § 13.7. Nous l’utilisons pour trouver une majoration de Y n W 1,p qui
nous permettra de conclure que sa limite est nulle, c’est ce que fait le lemme
suivant, dont nous donnerons la démonstration au § 13.7.
Lemme 9.6.15. Il existe des constantes positives K 1 et K 2 telles que, pour
tout n ∈ N,
Y n W 1,p ≤ K 1
χ n W 1,p + Y n L ∞ +
F(0) L p
1 − K 2 Y n L ∞
.