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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
deuxième, et la décroissance exponentielle de w n et
n . Afin de majorer le
dernier terme, considérons l’application Γ : Ω → R
m définie par
Γ(a, b) = D 1 Φ(a, b)X t (a) + D 2 Φ (a,b) X t (b),
de sorte que le terme à majorer est
Γ(w n (s, t),
n (s, t))
. Comme ci-dessus,
par compacité, il existe un M > 0 tel que l’on ait
DΓ (a,b)
≤ M pour tous
(a, b) ∈ Ω 0 . On a donc, pour s 1 ≤ s 2 ≤ A et t ∈ S
1 ,
Γ(w n (s 2 , t),
n (s 2 , t))−Γ(w n (s, t),
n (s, t)
≤
s2
s1
∂
∂s
Γ(w n (s, t),
n (s, t)) ds
≤
s2
s1
∂
∂s
Γ(w n (s, t),
n (s, t))
ds
=
s2
s1
D1Γ (wn, n)
∂w n
∂s
+ D 2 Γ (wn, n)
∂
n
∂s
ds
≤
s2
s1
M
∂w n
∂s
+
∂
n
∂s
ds
≤ MC
s2
s1
e
δs ds = MC(e
δs2
− e
δs1 )
toujours grâce à la décroissance exponentielle. Faisons tendre s 1 vers −∞.
Nous avons
lim
s→−∞
Γ(w n (s, t),
n (s, t)) = Γ(x(t), x(t))
= D 1 Φ (x(t),x(t)) X t (x(t)) + D 2 Φ (x(t),x(t)) X t (x(t))
= D 1 Φ (x(t),x(t)) x
(t) + D 2 Φ (x(t),x(t)) x
(t)
puisque x(t) est une orbite du champ X t . On obtient
lim
s→−∞
Γ(w n (s, t),
n (s, t)) =
∂
∂t
Φ(x(t), x(t)) =
∂
∂t
0 = 0.
On en déduit donc, pour s 2 ≤ A et t ∈ S
1 ,
Γ(w n (s 2 , t),
n (s 2 , t))
≤ Ke
δs2 .
On termine la preuve du lemme 9.6.13 en procédant de manière analogue
pour s ≥ B.
Comme nous l’avons déjà remarqué, le fait que notre Y n est dans
W
1,p (R × S
1 ; R
m ) pour tout p > 2 s’en déduit immédiatement. Il reste à
montrer, pour finir la démonstration de la proposition 9.6.4, que Y n tend
bien vers 0 en norme W
1,p . Considérons donc une trivialisation unitaire
(Z
n
i ) i le long du pré-recollement w n , choisie comme au § 9.4 (voir la figure 5).