9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
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ce qui donne la partie « pour ∂Y n /∂s » du lemme. Prouvons-le maintenant
pour Y n lui-même. Soit toujours A < 0 comme ci-dessus. Pour s 1 ≤ s 2 ≤
A < 0 et t ∈ S
1 , nous avons
Y n (s 2 , t) − Y n (s 1 , t) =
s2
s1
∂Y n
∂s
(s, t) ds
≤
s2
s1
∂Y n
∂s
(s, t)
ds
≤
s2
s1
Ke
δs ds = K(e
δs2
− e
δs1 ).
Faisons tendre s 1 vers −∞ dans cette inégalité et utilisons l’écriture de Y n
en fonction de
n pour obtenir
lim
s→−∞
Y n (s, t) = lim
s→−∞
Φ(w n (s, t),
n (s, t))
= Φ(x(t), x(t)) = exp
−1
x(t) x(t) = 0.
Nous avons par conséquent
Y n (s 2 , t) ≤ Ke
δs2 .
Procéder de manière analogue pour les s ≥ B donne le résultat voulu
pour Y n . Il reste, pour finir la démonstration du lemme 9.6.13, à prouver
une égalité du même type pour ∂Y n /∂t.
En partant de l’écriture de Y n en fonction de
n , on trouve
∂Y n
∂t
(s, t) = D 1 Φ (wn(s,t), n(s,t))
∂w n
∂t
(s, t) + D 2 Φ (wn(s,t), n(s,t))
∂
n
∂t
(s, t).
La constante négative A, choisie comme ci-dessus, est supposée inférieure
à −1. Pour s ≤ A ≤ −1, w n est une solution de l’équation de Floer. On
peut donc écrire (en omettant le point (s, t) pour alléger cette écriture), en
tout point (s, t)
∂Y n
∂t
= D 1 Φ (wn, n)
X t (w n ) − J(w n ) ·
∂w n
∂s
+ D 2 Φ (wn, n)
X t (
n ) − J(
n ) ·
∂
n
∂s
et, pour tout point (s, t) ∈ ] − ∞, A] × S
1 ,
∂Y n
∂t
≤
D 1 Φ (wn, n) J(w n )
∂w n
∂s
+
D 2 Φ (wn, n) J(
n )
∂
n
∂s
+
D 1 Φ (wn, n) X t (w n ) + D 2 Φ (wn, n) X t (
n )
,
d’où
∂Y n
∂t
≤ Ke
δs +
D 1 Φ (wn, n) X t (w n ) + D 2 Φ (wn, n) X t (
n )
.
Pour la dernière majoration, nous avons utilisé le fait que les normes DΦ
et J sont uniformément bornées sur Ω 0 pour la première, sur W pour la