316
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Lemme 9.6.13. Il existe une constante K > 0 (dépendant de n en général)
telle que, pour tous (s, t) ∈ R × S
1 , on ait
max
∂Y n
∂s
(s, t)
, Y n (s, t) ,
∂Y n
∂t
(s, t)
≤ Ke
−δ|s| .
Il est clair que ce lemme implique immédiatement la première assertion
de la proposition 9.6.4. Démontrons-le donc.
Démonstration du lemme 9.6.13. Considérons l’ouvert Ω de W × W défini
par
Ω = {(a, b) ∈ W × W | d(a, b) < ρ inj } .
Définissons Φ : Ω → R
m par
Φ(a, b) = exp
−1
a (b) ∈ T a W ⊂ R
m .
Soit Ω 0 ⊂ Ω défini par
Ω 0 = {(a, b) ∈ W × W | d(a, b) ≤ ρ inj /2} ;
c’est un compact de W × W . Choisissons une constante A < 0 telle que,
pour tout s ≤ A et tout t ∈ S
1 , on ait
(w n (s, t),
n (s, t)) ∈ Ω 0
(on s’assure que, pour s ≤ A, d(w n (s, ·), x) ≤ ρ inj /6 et d(
n (s, ·), x) ≤
ρ inj /6). Ainsi, nous avons
Y n (s, t) = Φ(w n (s, t),
n (s, t)) pour (s, t) ∈ ] − ∞, A] × S
1 .
Par compacité de Ω 0 , il existe M > 0 tel que
D (a,b) Φ
≤ M ∀ (a, b) ∈ Ω 0 .
Nous avons donc, pour tout s ≤ A et tout t ∈ S
1 ,
∂Y n
∂s
(s, t)
=
∂
∂s
Φ(w n (s, t),
n (s, t))
≤
D 1 Φ (wn(s,t), n(s,t))
∂w n
∂s
(s, t)
+
D 2 Φ (wn(s,t), n(s,t))
∂
n
∂s
(s, t)
≤ M
∂w n
∂s
(s, t)
+ M
∂
n
∂s
(s, t)
≤ 2MCe
δs
(grâce à la décroissance exponentielle). On démontre de même que, pour
s ≥ B,
∂Y n
∂s
(s, t)
≤ 2MCe
−δs ,