9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
315
(3) Pour s ∈ [F − σ n , E + τ n ],
n (s) ∈ B(y, δ) par définition de σ n et τ n
(en utilisant les faits que F > 0 et E < 0). Puis u(s + σ + σ n ) ∈ B(y, δ)
puisque s + σ + σ n ≥ B et de même v(s + τ − τ n ) ∈ B(y, δ) puisque
s + τ − τ n ≤ E + τ ≤ A. La deuxième assertion du lemme 9.6.11 donne
que w n (s, t) ∈ B(y(t), δ
) ; on peut donc de nouveau appliquer sa première
assertion pour obtenir la relation voulue.
(4) Le cas où s ∈ [E+τ n , F +τ n ] est analogue à celui où s ∈ [E −σ n , F −σ n ].
(5) Pour s ≥ F + τ n ≥ τ
n , on a
n (s) ∈ B(z, δ) par définition de τ
n et
w n (s, t) ∈ B(z(t), δ) puisque w n (s, t) = v(s + τ − τ n , t) et s + τ − τ n ≥
F + τ ≥ B.
Nous avons donc obtenu la relation désirée pour tout s ∈ R. Notons qu’on
peut supposer Y n (s, t) W < ρ inj (norme de Y n pour la métrique sur W )
pour tous n ≥ N ε , (s, t) ∈ R × S
1 , quitte à avoir choisi ε assez petit, et
donc
Y n (s, t) = exp
−1
wn(s,t)
n (s, t) est de classe C
∞ .
La démonstration de la proposition 9.6.3 est presque terminée. Posons
ρ n = σ n + σ et définissons une fonction ν de classe C
∞ qui satisfait à
ν(ρ n ) = τ n − τ . On peut choisir ν croissante (quitte encore une fois à
extraire des sous-suites de ρ n et τ n ) et tendant vers +∞ quand ρ tend vers
+∞. On en déduit que, pour n ≥ N ε et (s, t) ∈ R × S
1 , on a
n (s, t) = exp wν,ρ n (s,t) Y n (s, t) avec Y n (s, t) ≤ ε,
et cette fois la preuve de la proposition est vraiment terminée.
9.6.c. Étape 3 : preuve de la proposition 9.6.4. Nous montrons ici que
le champ Y n produit par la proposition 9.6.3 est dans W
1,p (R×S
1 ; R
m ) pour
p > 2. Pour ceci nous utiliserons la propriété de décroissance exponentielle
des solutions de l’équation de Floer 8.9, c’est-à-dire le fait que, si ∈ M,
alors il existe une constante C > 0 telle que, pour tous (s, t) ∈ R × S
1 ,
on ait
∂∂
∂s
(s, t)
≤ Ce
−δ|s|
(avec, au choix, la norme de la métrique de W ou la norme euclidienne dans
R
m , choix que nous ferons ici). L’étape précédente nous a donné la relation
n (s, t) = exp wn(s,t) Y n (s, t) ou Y n (s, t) = exp
−1
wn(s,t)
n (s, t).
Les applications w n et
n ont toutes les deux la propriété de décroissance
exponentielle (w n est une solution de l’équation de Floer pour |s| ≥ 1), ce
qui va nous servir à démontrer :
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
315
(3) Pour s ∈ [F − σ n , E + τ n ],
n (s) ∈ B(y, δ) par définition de σ n et τ n
(en utilisant les faits que F > 0 et E < 0). Puis u(s + σ + σ n ) ∈ B(y, δ)
puisque s + σ + σ n ≥ B et de même v(s + τ − τ n ) ∈ B(y, δ) puisque
s + τ − τ n ≤ E + τ ≤ A. La deuxième assertion du lemme 9.6.11 donne
que w n (s, t) ∈ B(y(t), δ
) ; on peut donc de nouveau appliquer sa première
assertion pour obtenir la relation voulue.
(4) Le cas où s ∈ [E+τ n , F +τ n ] est analogue à celui où s ∈ [E −σ n , F −σ n ].
(5) Pour s ≥ F + τ n ≥ τ
n , on a
n (s) ∈ B(z, δ) par définition de τ
n et
w n (s, t) ∈ B(z(t), δ) puisque w n (s, t) = v(s + τ − τ n , t) et s + τ − τ n ≥
F + τ ≥ B.
Nous avons donc obtenu la relation désirée pour tout s ∈ R. Notons qu’on
peut supposer Y n (s, t) W < ρ inj (norme de Y n pour la métrique sur W )
pour tous n ≥ N ε , (s, t) ∈ R × S
1 , quitte à avoir choisi ε assez petit, et
donc
Y n (s, t) = exp
−1
wn(s,t)
n (s, t) est de classe C
∞ .
La démonstration de la proposition 9.6.3 est presque terminée. Posons
ρ n = σ n + σ et définissons une fonction ν de classe C
∞ qui satisfait à
ν(ρ n ) = τ n − τ . On peut choisir ν croissante (quitte encore une fois à
extraire des sous-suites de ρ n et τ n ) et tendant vers +∞ quand ρ tend vers
+∞. On en déduit que, pour n ≥ N ε et (s, t) ∈ R × S
1 , on a
n (s, t) = exp wν,ρ n (s,t) Y n (s, t) avec Y n (s, t) ≤ ε,
et cette fois la preuve de la proposition est vraiment terminée.
9.6.c. Étape 3 : preuve de la proposition 9.6.4. Nous montrons ici que
le champ Y n produit par la proposition 9.6.3 est dans W
1,p (R×S
1 ; R
m ) pour
p > 2. Pour ceci nous utiliserons la propriété de décroissance exponentielle
des solutions de l’équation de Floer 8.9, c’est-à-dire le fait que, si ∈ M,
alors il existe une constante C > 0 telle que, pour tous (s, t) ∈ R × S
1 ,
on ait
∂∂
∂s
(s, t)
≤ Ce
−δ|s|
(avec, au choix, la norme de la métrique de W ou la norme euclidienne dans
R
m , choix que nous ferons ici). L’étape précédente nous a donné la relation
n (s, t) = exp wn(s,t) Y n (s, t) ou Y n (s, t) = exp
−1
wn(s,t)
n (s, t).
Les applications w n et
n ont toutes les deux la propriété de décroissance
exponentielle (w n est une solution de l’équation de Floer pour |s| ≥ 1), ce
qui va nous servir à démontrer :