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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
On sait que
n (s−σ n ) converge vers u(s+σ ) uniformément sur les compacts
de R × S
1 . Pour ε > 0 fixé, il existe alors un N ε tel que pour n ≥ N ε , t ∈ S
1
et s ∈ [E, F ], on ait
n (s − σ n , t) = exp u(s+σ,t) Y
1
n (s, t) avec
Y
1
n (s, t)
≤ ε
(pour la norme euclidienne). En changeant s en s + σ n , on trouve que, pour
n ≥ N ε ,
n (s, t) = exp u(s+σn+σ,t) Y n (s, t)
avec
Y n (s, t) ≤ ε pour tous (s, t) ∈ [E − σ n , F − σ n ] × S
1 .
De la même façon, on a, pour n ≥ N ε ,
n (s, t) = exp v(s+τ−τn,t) Y n (s, t)
avec
Y n (s, t) ≤ ε pour tous (s, t) ∈ [E + τ n , F + τ n ] × S
1 .
Rappelons que les intervalles [E −σ n , F −σ n ] et [E +τ n , F +τ n ] sont disjoints
pour n assez grand... il n’y a donc pas de confusion entre les deux Y n définis
par ces deux relations.
Définissons un pré-recollement w n (s, t) par
w n (s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(s + σ + σ n , t)
s i s ≤ −1,
exp y(t)
β
− (s) exp
−1
y(t) u(s + σ + σ n , t)
+ β
+ (s) exp
−1
y(t) v(s + τ − τ n , t)
si s ∈ [−1, 1],
v(s + τ − τ n , t)
s i s ≥ 1.
Montrons que, pour tous n ≥ N ε , (s, t) ∈ R × S
1 , on a
n (s, t) = exp wn(s,t) Y n (s, t), avec Y n (s, t) ≤ ε.
Pour cela, découpons R en plusieurs intervalles.
(1) Pour s < E − σ n ≤ −σ
n on a
n (s, t) ∈ B(x(t), δ) (par définition
de σ
n ) et
w n (s, t) = u(s + σ + σ n , t) ∈ B(x(t), δ)
puisque
s + σ + σ n ≤ E + σ ≤ A.
On obtient la relation voulue en appliquant la première assertion du
lemme 9.6.11.
(2) Pour s ∈ [E − σ n , F − σ n ], on a le résultat en utilisant la définition
de Y n .