9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
313
Posons maintenant
5
n (s) =
n (s + c n ). Comme c n ∈ [−σ
n , −σ n ], nous avons
A H (
5
n (0)) = A H (
n (c n )) ∈ [A H (
n (−σ n )), A H (
n (−σ
n ))].
Puis, comme
lim
n→+∞
A H (
n (−σ n )) = lim A H (
1
n (0)) = A H (u(σ ))
lim A H (
n (−σ
n )) = A H (u(σ
)),
et
il suit que
A H (
5
n (0)) ∈ ]A H (y) + γ 0 , A H (x) − γ 0 [ pour un γ 0 > 0 et pour tout n.
En appliquant la proposition 9.6.8, on trouve alors que
5
n (s) tend vers
u(s + c ) dans M et en particulier
n (c n ) =
5
n (0) tend vers u(c ) avec la
convergence C
∞ uniforme sur S
1 . En utilisant ceci et la relation ci-dessus,
on obtient
S 1
∂u
∂t
(c , t) − X t (u(c , t))
2
dt = 0
et donc
∂u
∂t
(c , t) − X t (u(c , t)) = 0,
ce qui signifie que u(c ) est un point critique de A H . Appelons ce point
critique α. Nous avons, pour tout t ∈ S
1 ,
∂u
∂s
(c , t) = −J(u(c , t))
∂u
∂t
(c , t) − X t (u(c , t))
= −J(α)
∂u
∂t
(α) − X t (α)
= 0.
Par suite, l’ensemble C(u) des points critiques contient c × S
1 , en contradiction avec le fait que, d’après le théorème 8.5.4, cet ensemble est discret.
On conclut que la suite σ
n −σ n est bornée. On montre de même que τ
n −τ n
est elle aussi bornée, et ceci achève la démonstration du lemme 9.6.12.
Venons-en enfin à la fin de la démonstration de la proposition 9.6.3.
Choisissons des constantes A, B et C ∈ R telles que
– pour s ≤ A, u(s) ∈ B(x, δ) et v(s) ∈ B(y, δ),
– pour s ≥ B, u(s) ∈ B(y, δ) et v(s) ∈ B(z, δ),
– σ
n − σ n ≤ C et τ
n − τ n ≤ C (C > 0),
le δ qui apparaît ici est celui donné par le lemme 9.6.11, un ε > 0 étant
toujours fixé. Utilisons aussi les constantes σ et τ définies dans la deuxième
remarque qui suit les définitions de σ n et τ n et considérons un intervalle
compact [E, F ] tel que
• E < 0, E + σ ≤ A, E + τ ≤ A,
• F > 0, F + σ ≥ B, F + τ ≥ B,
• σ
n − σ n ≤ −E et τ
n − τ n ≤ F pour tout n ∈ N.
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
313
Posons maintenant
5
n (s) =
n (s + c n ). Comme c n ∈ [−σ
n , −σ n ], nous avons
A H (
5
n (0)) = A H (
n (c n )) ∈ [A H (
n (−σ n )), A H (
n (−σ
n ))].
Puis, comme
lim
n→+∞
A H (
n (−σ n )) = lim A H (
1
n (0)) = A H (u(σ ))
lim A H (
n (−σ
n )) = A H (u(σ
)),
et
il suit que
A H (
5
n (0)) ∈ ]A H (y) + γ 0 , A H (x) − γ 0 [ pour un γ 0 > 0 et pour tout n.
En appliquant la proposition 9.6.8, on trouve alors que
5
n (s) tend vers
u(s + c ) dans M et en particulier
n (c n ) =
5
n (0) tend vers u(c ) avec la
convergence C
∞ uniforme sur S
1 . En utilisant ceci et la relation ci-dessus,
on obtient
S 1
∂u
∂t
(c , t) − X t (u(c , t))
2
dt = 0
et donc
∂u
∂t
(c , t) − X t (u(c , t)) = 0,
ce qui signifie que u(c ) est un point critique de A H . Appelons ce point
critique α. Nous avons, pour tout t ∈ S
1 ,
∂u
∂s
(c , t) = −J(u(c , t))
∂u
∂t
(c , t) − X t (u(c , t))
= −J(α)
∂u
∂t
(α) − X t (α)
= 0.
Par suite, l’ensemble C(u) des points critiques contient c × S
1 , en contradiction avec le fait que, d’après le théorème 8.5.4, cet ensemble est discret.
On conclut que la suite σ
n −σ n est bornée. On montre de même que τ
n −τ n
est elle aussi bornée, et ceci achève la démonstration du lemme 9.6.12.
Venons-en enfin à la fin de la démonstration de la proposition 9.6.3.
Choisissons des constantes A, B et C ∈ R telles que
– pour s ≤ A, u(s) ∈ B(x, δ) et v(s) ∈ B(y, δ),
– pour s ≥ B, u(s) ∈ B(y, δ) et v(s) ∈ B(z, δ),
– σ
n − σ n ≤ C et τ
n − τ n ≤ C (C > 0),
le δ qui apparaît ici est celui donné par le lemme 9.6.11, un ε > 0 étant
toujours fixé. Utilisons aussi les constantes σ et τ définies dans la deuxième
remarque qui suit les définitions de σ n et τ n et considérons un intervalle
compact [E, F ] tel que
• E < 0, E + σ ≤ A, E + τ ≤ A,
• F > 0, F + σ ≥ B, F + τ ≥ B,
• σ
n − σ n ≤ −E et τ
n − τ n ≤ F pour tout n ∈ N.