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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
(2) À extraction d’une sous-suite près, on a (convergence dans M, c’està-dire uniforme sur les compacts de R × S
1 )
lim
n (s − σ
n ) = u(s + σ
) et lim
n (s + τ
n ) = v(s + τ
)
pour des constantes σ
, τ
∈ R. Pour
3
n (s) =
n (s − σ
n ), nous avons en effet
3
n (0) ∈ ∂B(x, δ) et A H (
3
n (0)) ∈ ]A H (y), A H (x)[.
La proposition 9.6.8 implique alors comme ci-dessus que
3
n (s) converge vers
u(s + σ
). Un argument analogue s’applique à
4
n =
n (s + τ
n ).
Nous aurons besoin d’un résultat plus fort que cette dernière remarque,
à savoir :
Lemme 9.6.12. Les suites σ
n − σ n et τ
n − τ n sont bornées.
Démonstration. Supposons au contraire que σ
n −σ n tende vers +∞ et montrons que cela aboutit à une contradiction. Comme σ
n et σ n sont positifs,
nous avons
A H (
n (−σ n )) et A H (
n (−σ
n )) ∈ [A H (
n (0)), A H (x)] ⊂ [A H (z), A H (x)].
Montrons par ailleurs que A H (
n (σ
n )) − A H (
n (−σ n )) tend vers +∞. Nous
avons
A H (
n (−σ
n )) − A H (
n (−σ n )) =
−σ
n
−σn
∂
∂s
A H (
n (s)) ds
=
−σ
n
−σn
S 1
∂
n
∂s
(s, t)
2
dt ds
(la norme utilisée est celle définie par la métrique sur W ). Il existe alors
c n ∈ [−σ
n , −σ n ] tel que
S 1
∂
n
∂s
(c n , t)
2
dt tend vers 0,
car sinon, modulo extraction de sous-suite
S 1
∂
n
∂s
(s, t)
2
dt ≥ γ 0 pour s ∈ [−σ
n , σ n ],
d’où l’on déduit que
−σn
−σ
n
S 1
∂
n
∂s
(s, t)
2
dt ds ≥ γ
2
0 (σ
n − σ n ) tend vers + ∞
ce qui contredit l’inclusion ci-dessus. Comme
n est une solution de l’équation de Floer, on peut écrire de manière équivalente
S 1
∂
n
∂t
(c n , t) − X t (
n (c n , t))
2
dt tend vers 0.