9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
311
x
y
z
n(0)
u
v
Figure 12
(2) Posons
1
n (s) =
n (s − σ n ) et
2
n (s) =
n (s + τ n ). Alors, quitte à
extraire une sous-suite,
lim
1
n (s) = u(s + σ ) et lim
2
n (s) = v(s + τ ) dans M pour σ , τ ∈ R.
En effet, nous avons
1
n (0) =
n (−σ n ) ∈ ∂B(y, δ). Donc la suite
1
n ne tend
pas vers y. Elle ne peut pas tendre non plus vers x puisque
1
n (0) ∈ ∂B(y, δ),
de sorte que
1
n (0) n’est dans B(x, δ) pour aucun n. Par ailleurs,
A H (
1
n (0)) = A H (
n (−σ n )) > A H (
n (0)) = A H (y).
Compte tenu de la proposition 9.6.8, cela implique que
lim
1
n (s) = u(s + σ ) dans M pour une constante σ ∈ R.
On démontre de même
lim
2
n (s) = v(s + τ ) dans M pour une constante τ ∈ R.
Posons maintenant
σ
n = inf
s > 0 |
n (] − ∞, −s]) ⊂ B(x, δ)
τ
n = inf
s > 0 |
n ([s, +∞[) ⊂ B(z, δ)
,
et
de sorte qu’évidemment
n (−σ
n ) ∈ ∂B(x, δ) et
n (τ
n ) ∈ ∂B(z, δ). Remarquons encore que :
(1) On a σ
n ≥ σ n et τ
n ≥ τ n . En particulier les suites σ
n et τ
n tendent
vers +∞. En effet, supposons que σ n > σ
n et prenons un σ dans [σ n , σ
n ].
La définition de σ
n et de σ n implique alors que
n (−σ) ∈ B(x, δ) ∩ B(y, δ)
ce qui est absurde puisque ces deux boules ont été supposées disjointes. Le
même argument vaut pour τ n et τ
n .