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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Lemme 9.6.11. Il existe δ et δ
tels que 0 < δ < δ
< ρ inj et tels que, pour
tout a ∈ W , tous p, q ∈ B(a, δ
), on peut écrire
q = exp p Y, avec Y < ε,
et, pour tout a ∈ W , tous p, q ∈ B(a, δ), pour tous β
− , β
+
∈ [0, 1],
exp a (β
− exp
−1
a (p) + β
+ exp
−1
a (q)) ∈ B(a, δ
).
Choisissons le relèvement
n de n qui vérifie A H (
n (0, ·)) = A H (y). La
suite
n est convergente dans M (à extraction d’une sous-suite près) et, en
vertu de la proposition 9.6.8, sa limite est y.
Montrons que
n satisfait aux conclusions de la proposition 9.6.3. Voici
l’idée de cette preuve. Notons w n un pré-recollement de u et v, w n = w ν,ρn
pour une certaine fonction ν : R + → R + à déterminer. Fixons ε > 0 et
notons B(x, δ), B(y, δ), B(z, δ) les boules ouvertes pour la distance C
0 sur
l’espace de lacets
(2)
LW (la constante δ est celle donnée par le lemme 9.6.11
et on peut supposer, ce que nous ferons, que ces boules sont disjointes).
Quand s est très petit,
n (s, ·) et w n (s, ·) sont dans B(x, δ), quand s est
proche de 0, ils sont dans B(y, δ) et quand s est très grand, dans B(z, δ) et
dans ces trois cas, on peut appliquer le lemme 9.6.11 pour conclure. Pour
les valeurs autres de s, utilisons le fait que n tend vers ( u,
v) dans L(x, z),
ce qui se traduit par l’existence de suites σ n et τ n et de réels σ , τ tels que
lim
n (s − σ n , t) = u(s + σ , t) et lim
n = v(s + τ , t).
La convergence est uniforme sur les compacts de R × S
1 . La première limite
nous dit que
n (s, t) est proche de u(s + σ n + σ , t) sur (K − σ n ) × S
1 , où K
est un compact de R. Avec des domaines de ce type, on doit « recouvrir »
les parties non hachurées de la figure 12.
Le choix des suites σ n et τ n est donc très important. C’est lui aussi qui va
déterminer le choix de w n . Pour simplifier les notations, nous supprimons
la variable t ∈ S
1 dans ce qui suit. On a vu que y = lim
n dans M et
en particulier que lim
n (0) = y. Pour n ≥ N ε , on a donc
n (0) ∈ B(y, δ)
(toujours pour la distance C
0 sur LW ). Posons
σ n = sup
s > 0 |
n ([−s, 0]) ⊂ B(y, δ)
τ n = sup
s > 0 |
n ([0, s]) ⊂ B(y, δ)
.
et
Ainsi
n (−σ n ) et
n (τ n ) ∈ ∂B(y, δ). Remarquons que
(1) Les suites σ n et τ n tendent vers +∞. En effet, si la suite σ n était
bornée,
n ([−σ n , 0]) tendrait vers y, on aurait donc lim
n (−σ n ) = y, ce qui
est absurde. Même raisonnement pour τ n .
(2) Rappelons que B(y, δ) =
χ : S 1 → W | d(χ(t), y(t)) < δ ∀ t ∈ S 1
.
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Lemme 9.6.11. Il existe δ et δ
tels que 0 < δ < δ
< ρ inj et tels que, pour
tout a ∈ W , tous p, q ∈ B(a, δ
), on peut écrire
q = exp p Y, avec Y < ε,
et, pour tout a ∈ W , tous p, q ∈ B(a, δ), pour tous β
− , β
+
∈ [0, 1],
exp a (β
− exp
−1
a (p) + β
+ exp
−1
a (q)) ∈ B(a, δ
).
Choisissons le relèvement
n de n qui vérifie A H (
n (0, ·)) = A H (y). La
suite
n est convergente dans M (à extraction d’une sous-suite près) et, en
vertu de la proposition 9.6.8, sa limite est y.
Montrons que
n satisfait aux conclusions de la proposition 9.6.3. Voici
l’idée de cette preuve. Notons w n un pré-recollement de u et v, w n = w ν,ρn
pour une certaine fonction ν : R + → R + à déterminer. Fixons ε > 0 et
notons B(x, δ), B(y, δ), B(z, δ) les boules ouvertes pour la distance C
0 sur
l’espace de lacets
(2)
LW (la constante δ est celle donnée par le lemme 9.6.11
et on peut supposer, ce que nous ferons, que ces boules sont disjointes).
Quand s est très petit,
n (s, ·) et w n (s, ·) sont dans B(x, δ), quand s est
proche de 0, ils sont dans B(y, δ) et quand s est très grand, dans B(z, δ) et
dans ces trois cas, on peut appliquer le lemme 9.6.11 pour conclure. Pour
les valeurs autres de s, utilisons le fait que n tend vers ( u,
v) dans L(x, z),
ce qui se traduit par l’existence de suites σ n et τ n et de réels σ , τ tels que
lim
n (s − σ n , t) = u(s + σ , t) et lim
n = v(s + τ , t).
La convergence est uniforme sur les compacts de R × S
1 . La première limite
nous dit que
n (s, t) est proche de u(s + σ n + σ , t) sur (K − σ n ) × S
1 , où K
est un compact de R. Avec des domaines de ce type, on doit « recouvrir »
les parties non hachurées de la figure 12.
Le choix des suites σ n et τ n est donc très important. C’est lui aussi qui va
déterminer le choix de w n . Pour simplifier les notations, nous supprimons
la variable t ∈ S
1 dans ce qui suit. On a vu que y = lim
n dans M et
en particulier que lim
n (0) = y. Pour n ≥ N ε , on a donc
n (0) ∈ B(y, δ)
(toujours pour la distance C
0 sur LW ). Posons
σ n = sup
s > 0 |
n ([−s, 0]) ⊂ B(y, δ)
τ n = sup
s > 0 |
n ([0, s]) ⊂ B(y, δ)
.
et
Ainsi
n (−σ n ) et
n (τ n ) ∈ ∂B(y, δ). Remarquons que
(1) Les suites σ n et τ n tendent vers +∞. En effet, si la suite σ n était
bornée,
n ([−σ n , 0]) tendrait vers y, on aurait donc lim
n (−σ n ) = y, ce qui
est absurde. Même raisonnement pour τ n .
(2) Rappelons que B(y, δ) =
χ : S 1 → W | d(χ(t), y(t)) < δ ∀ t ∈ S 1
.