9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
309
a
α
β
b
γ
δ
A H
R
b
b
a
a
α
α
β
β
γ
γ
δ
δ
Figure 11
Démonstration de la proposition 9.6.8. Appliquons maintenant ce lemme à
la suite
n . Comme
n ∈ M(x, z), il est clair que λ = lim n vérifie
A H (x) ≥ A H (λ(s, ·)) ≥ A H (z) pour tout s ∈ R.
Si λ ∈ { u,
v}, le lemme précédent implique, puisque n tend vers ( u,
v), que
A H (λ) ∈ {A H (x), A H (y), A H (z)} .
En particulier, A H (λ(s, ·)) ne dépend pas de s, donc λ est une orbite périodique de X t . Comme nous avons supposé les valeurs critiques de A H
distinctes (lemme 6.3.6), on a bien montré que
λ ∈ {x, y, z} .
Remarque 9.6.10. Avec la même démonstration, on peut voir plus généralement que, si la suite n ∈ L(α, β) a la propriété que
lim
n→+∞
n = (u 1 , . . . , u k ) ∈ L(α, β) avec u i ∈ L(γ i−1 , γ i ), γ 0 = α, γ k = β,
alors, quel que soit le relèvement
n de n , si la suite
n est convergente,
lim
n→+∞
n ∈ { u 1 , . . . ,
u k , γ 0 , . . . , γ k } .
Ces préliminaires acquis, venons-en au fait.
Démonstration de la proposition 9.6.3. Fixons un réel ε > 0. Le lemme suivant, dont la démonstration est évidente, est une conséquence immédiate
de la compacité de la variété W .