308
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
9.6.b. Étape 2. Pour commencer, établissons quelques résultats préliminaires. Revenons à la fonctionnelle d’action A H : L(W ) → R, celle dont
les points critiques sont les orbites 1-périodiques du champ hamiltonien X t .
Nous supposons ici, comme le lemme 6.3.6 nous y autorise, que A H prend
des valeurs distinctes en des points critiques distincts. Considérons une suite
n ∈ L(x, z) avec lim n→+∞ n = ( u,
v), comme dans l’énoncé du théorème 9.2.3. On démontre :
Proposition 9.6.8. Soit
n un relèvement de n dans M(x, z). Si la suite
n
converge vers une limite λ dans M, on a
λ ∈ {x,
u, y,
v, z}
où
u et
v sont des relèvements de
u et
v (respectivement) dans M(x, z).
Pour démontrer cette proposition, nous utiliserons le lemme :
Lemme 9.6.9. Soit s n une suite réelle qui a une limite et soit λ n une suite
dans M. On suppose que, au sens C
∞
loc ,
lim
n→+∞
λ n (s, t) = a(s, t) et
lim
n→+∞
λ n (s + s n , t) = b(s, t)
pour deux trajectoires a ∈ M(α, β), b ∈ Mγ, δ) (α, β, γ, δ sont des points
critiques de A H ). Si a = b, alors la suite s n est divergente et on a
A H (α) ≥ A H (β) ≥ A H (γ) ≥ A H (δ) si lim s n = +∞,
A H (γ) ≥ A H (δ) ≥ A H (α) ≥ A H (β) si lim s n = −∞.
Voir la figure 11 où la configuration de gauche correspond à une suite s n
tendant vers +∞, la configuration centrale à une suite s n tendant vers −∞
et la configuration de droite est impossible.
Démonstration. Si s n a une limite finie σ, on a évidemment a(s + σ, t) =
b(s, t) donc a = b. Supposons que lim s n = +∞ et fixons σ, τ ∈ R. Pour n
assez grand, on a s n +σ ≥ τ . Comme A H est décroissante sur les trajectoires
de M, on a donc
A H (λ n (s n + σ, ·) ≤ A H (τ, ·)).
En faisant tendre n vers l’infini, on obtient
A H (b(σ, ·)) ≤ A H (a(τ, ·))
et ceci pour tous σ et τ dans R. En faisant tendre σ vers −∞ et τ vers +∞,
on trouve que
A H (β) ≥ A H (γ)
ce qui démontre le lemme (le cas d’une suite s n tendant vers −∞ est analogue).