9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
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De plus, l’application (ρ, λ) → γ(ρ, λ) est continue et dérivable en application du théorème des fonctions implicites (comme dans le lemme 9.4.14).
On démontre de manière analogue que
ψ(·, λ) a les propriétés voulues.
Fin de la démonstration de la proposition 9.6.1. La composante de L(x, z)
qui contient Im(
ψ) est une variété de dimension 1, sans bord, et non compacte puisque
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) ∈ L(x, z).
À un difféomorphisme près, on peut considérer que cette variété est l’intervalle ]0, 1[. Regardons l’image
ψ([ρ 0 , +∞[) ⊂ ]0, 1[. Comme
ψ est une
immersion injective, on a
Im
ψ = [
ψ(ρ 0 ), lim
ρ→+∞
ψ(ρ)[ ⊂ ]0, 1[.
Mais lim
ψ(ρ) ∈ L(x, z), de sorte que
Im
ψ = ]0, a 0 ] ou [a 0 , 1[.
Sans restreindre la généralité, supposons que cette image est [a 0 , 1[. Appliquons le même raisonnement à
ψ(·, λ) : [ρ 0 , +∞[ −→ M(x, z).
Comme
ψ : [ρ 0 , +∞[ × [0, 1] → L(x, z) est continue, l’image de
ψ est contenue dans cette même composante, que nous avons identifiée à ]0, 1[. Comme
ψ(·, λ) : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, z)
est une immersion injective, et comme
lim λ n = λ et lim ρ n = +∞ =⇒ lim
ψ(ρ n , λ n ) = ( u,
v)
(une assertion que nous laissons en exercice aux lecteurs) on obtient
Im(
ψ(·, λ)) = [a λ , 1[ pour tout λ ∈ [0, 1], en utilisant la connexité de [0, 1].
En particulier,
lim
ρ→+∞
ψ ν (ρ) = lim
ρ→+∞
ψ(ρ, 1) = 1.
Cela signifie que,
pour ρ ≥ ρ ν ,
ψ ν (ρ) ∈ [a 0 , 1] = Im(
ψ)
et la proposition 9.6.1 est démontrée.