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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
9.4.4 et trouver une application contractante
ϕ n : h n + W
⊥
ρ n
−→ h n + W
⊥
ρ n
qui produit une solution exp wν,ρ n γ n (h) ∈ M(x, z) unique dans h n + W
⊥
ρn .
La figure 10 reprend et précise la figure 7 avec ces nouvelles données.
Pour n assez grand, Y n sera donc l’unique solution produite par la méthode de Newton-Picard dans la tranche h n + W
⊥ . Par un argument de
connexité, nous en déduirons :
Proposition 9.6.5. Pour n assez grand, n ∈ Im(
ψ ν ).
La première étape donnera ensuite
Corollaire 9.6.6. Pour n assez grand, n ∈ Im(
ψ).
Nous aurons donc ainsi conclu, en même temps que la quatrième étape,
la démonstration du théorème 9.2.3.
Démontrons donc maintenant tous ces énoncés.
9.6.a. Étape 1 : démonstration de la proposition 9.6.1. Posons, pour
λ ∈ [0, 1],
ν λ (ρ) = (1 − λ)ρ + λν(ρ),
définissons le pré-recollement correspondant w ν λ ,ρ et faisons la construction
du recollement pour ce w ν λ ,ρ , obtenant :
Proposition 9.6.7. Il existe une application continue
ψ : [ρ 0 , +∞[ × [0, 1] −→ M(x, z)
telle que, pour tout λ ∈ [0, 1], l’application
ψ(·, λ) = π ◦ ψ(·, λ) : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, z)
est une immersion injective qui satisfait
lim
ρ→+∞
ψ(·, λ) = ( u,
v) dans L(x, z).
Démonstration. On décompose
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) = Ker L ρ,λ ⊕ W
⊥
ρ,λ
en utilisant un analogue de la proposition 9.4.7 (qui se démontre de la même
façon en utilisant la compacité de [0, 1]), puis on applique la méthode de
Newton-Picard (c’est-à-dire le lemme 9.4.4) dans W
⊥
ρ,λ . On obtient ainsi,
pour ρ ≥ ρ 0 et λ ∈ [0, 1], des éléments
γ(ρ, λ) ∈ W
⊥
ρ,λ tels que exp wν λ ,ρ γ(ρ, λ) ∈ M(x, z).