9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
305
Rappelons qu’ici la première assertion dit simplement que
Y n ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
m )
(voir les explications au § 8.2).
(4) Après les étapes 2 et 3, nous disposons d’une suite
n qui a la même
forme qu’une solution produite par la méthode de Newton-Picard à l’aide
du pré-recollement w ν,ρn . Rappelons que, pour appliquer la méthode de
Newton-Picard (ici le lemme 9.4.4) à partir de w ν,ρn , il faut d’abord décomposer W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) en une somme directe Ker(L ρn ) ⊕ W
⊥
ρ n
, qui,
ici, dépend de n (l’indice du ρ n considéré) et dans laquelle la dimension de
Ker(L ρn ) est 2 (voir les conséquences de la proposition 9.4.7). À l’aide d’une
application contractante
ϕ : W
⊥
ρ n
∩ B(0, ε 0 ) −→ W
⊥
ρ n
∩ B(0, ε 0 )
(pour un ε 0 > 0 ne dépendant pas de n), on trouve un unique γ n ∈
W
⊥
ρ n
∩ B(0, ε 0 ) tel que exp wν,ρ n γ n ∈ M(x, z) : ce γ n est l’unique point fixe
de l’application ϕ. Les lecteurs attentifs auront remarqué que nous avons
identifié ici W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) à w
ν,ρ n
T W = T w,ρn P(x, z) en utilisant l’application i : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) → w
ν,ρ n T W définie par une trivialisation
unitaire fixée le long de w ν,ρn .
Comme Y n W 1,p tend vers 0, Y n est dans la boule B(0, ε 0 ) pour n assez
grand. En particulier, Y n ∈ h n + W
⊥ pour un h n ∈ B(0, ε 0 ) ∩ Ker L qui a
la propriété que lim n→+∞ h n W 1,p = 0.
W
⊥
γ n
h n
Y n
B(0,ε 1 )
B(0,ε 0 )
Ker(L)
h n + W
⊥
exp
−1
w M(x,z)
Figure 10
Remarquons encore que si h n = 0, alors Y n = γ n (par la partie unicité du
lemme 9.4.4). En général, pour avoir h n W 1,p ≤ ε 1 (pour un ε 1 positif indépendant de n), nous allons devoir généraliser le lemme de Newton-Picard