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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Pour éviter la situation schématisée sur la figure 9, il est nécessaire de
s’assurer que l’image de cette nouvelle application
ψ ν est contenue (pour ρ
assez grand) dans celle du recollement
ψ =
ψ Id construit précédemment. Ce
sera la première étape de notre démonstration qui en comportera quatre :
(1) La première étape, celle que nous venons de décrire, consiste à montrer :
Proposition 9.6.1. Soit ν : R + → R + une fonction croissante de classe C
∞
telle que lim ρ→+∞ ν(ρ) = +∞. Il existe un nombre ρ ν > 0 tel que, pour
ρ ≥ ρ ν , on a
ψ ν (ρ) ∈ Im(
ψ).
(2) Pour la deuxième étape, considérons une suite ( n ) n∈N qui tend vers
( u,
v) dans L(x, z), comme dans l’énoncé du théorème 9.2.3, nous voulons
démontrer que n ∈ Im(
ψ) pour n assez grand.
Remarque 9.6.2. Il suffit de démontrer qu’il existe une sous-suite ( nk ) k∈N
telle que n k ∈ Im(
ψ) pour k assez grand.
Supposons en effet que la conclusion du théorème 9.2.3 soit fausse. On
aurait une sous-suite nk qui ne serait pas dans l’image de
ψ mais qui tendrait vers ( u,
v) dans L(x, z). On pourrait alors en extraire une sous-suite
contenue dans Im(
ψ) à partir d’un certain rang, ce qui est contradictoire.
Dans les énoncés suivants les conclusions relatives à la suite ( n ) n∈N
s’entendent donc à extraction d’une sous-suite près. Nous démontrons dans
cette deuxième étape la proposition :
Proposition 9.6.3. Il existe un relèvement
n ∈ M(x, z) de n et une fonction
croissante ν : R + → R + de classe C
∞ et telle que lim ρ→+∞ ν(ρ) = +∞, de
sorte que, pour tout (s, t) ∈ R × S
1 ,
n (s, t) = exp wν,ρ n (s,t) Y n (s, t)
où la suite (ρ n ) tend vers +∞ et Y n ∈ w
ν,ρ n
T W vérifie
lim
n→+∞
Y n ∞ = 0.
La norme Y n ∞ est calculée en considérant Y n comme une application
Y n : R × S
1
−→ R
m
à l’aide du plongement de W dans R
m que nous avons fixé et en utilisant
la norme euclidienne de R
m .
(3) La troisième étape est la plus technique. Avec les notations précédentes, nous démontrons :
Proposition 9.6.4. Le champ de vecteurs Y n vérifie Y n ∈ W
1,p (w
ν,ρn T W )
pour tout p > 2. De plus lim n→+∞ Y n W 1,p = 0.
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Pour éviter la situation schématisée sur la figure 9, il est nécessaire de
s’assurer que l’image de cette nouvelle application
ψ ν est contenue (pour ρ
assez grand) dans celle du recollement
ψ =
ψ Id construit précédemment. Ce
sera la première étape de notre démonstration qui en comportera quatre :
(1) La première étape, celle que nous venons de décrire, consiste à montrer :
Proposition 9.6.1. Soit ν : R + → R + une fonction croissante de classe C
∞
telle que lim ρ→+∞ ν(ρ) = +∞. Il existe un nombre ρ ν > 0 tel que, pour
ρ ≥ ρ ν , on a
ψ ν (ρ) ∈ Im(
ψ).
(2) Pour la deuxième étape, considérons une suite ( n ) n∈N qui tend vers
( u,
v) dans L(x, z), comme dans l’énoncé du théorème 9.2.3, nous voulons
démontrer que n ∈ Im(
ψ) pour n assez grand.
Remarque 9.6.2. Il suffit de démontrer qu’il existe une sous-suite ( nk ) k∈N
telle que n k ∈ Im(
ψ) pour k assez grand.
Supposons en effet que la conclusion du théorème 9.2.3 soit fausse. On
aurait une sous-suite nk qui ne serait pas dans l’image de
ψ mais qui tendrait vers ( u,
v) dans L(x, z). On pourrait alors en extraire une sous-suite
contenue dans Im(
ψ) à partir d’un certain rang, ce qui est contradictoire.
Dans les énoncés suivants les conclusions relatives à la suite ( n ) n∈N
s’entendent donc à extraction d’une sous-suite près. Nous démontrons dans
cette deuxième étape la proposition :
Proposition 9.6.3. Il existe un relèvement
n ∈ M(x, z) de n et une fonction
croissante ν : R + → R + de classe C
∞ et telle que lim ρ→+∞ ν(ρ) = +∞, de
sorte que, pour tout (s, t) ∈ R × S
1 ,
n (s, t) = exp wν,ρ n (s,t) Y n (s, t)
où la suite (ρ n ) tend vers +∞ et Y n ∈ w
ν,ρ n
T W vérifie
lim
n→+∞
Y n ∞ = 0.
La norme Y n ∞ est calculée en considérant Y n comme une application
Y n : R × S
1
−→ R
m
à l’aide du plongement de W dans R
m que nous avons fixé et en utilisant
la norme euclidienne de R
m .
(3) La troisième étape est la plus technique. Avec les notations précédentes, nous démontrons :
Proposition 9.6.4. Le champ de vecteurs Y n vérifie Y n ∈ W
1,p (w
ν,ρn T W )
pour tout p > 2. De plus lim n→+∞ Y n W 1,p = 0.