9.6. PROPRIÉTÉS DE
ψ : UNICITÉ DU RECOLLEMENT
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9.6. Propriétés de
ψ : unicité du recollement
Nous venons de montrer que la trajectoire brisée ( u,
v) ∈ L(x, y)×L(y, z)
est l’extrémité d’un intervalle plongé dans L(x, z) dont l’intérieur est dans
une composante de L(x, z). Cela ne suffit pas pour conclure que L(x, z) est
une variété à bord de dimension 1, comme le montre la figure 9.
( u, v)
Figure 9
On doit encore montrer que la seule façon d’approcher ( u,
v) dans L(x, z)
(en dehors de la suite constante) est en passant par l’intervalle que nous venons de construire. C’est la dernière assertion de l’énoncé du théorème 9.2.3
(qui paraphrase l’énoncé correspondant dans le cas du complexe de Morse,
c’est-à-dire la proposition 3.2.7) : si une suite dans L(x, z) converge vers
( u,
v), alors elle est dans l’image de
ψ.
La difficulté vient ici du fait que la construction que nous avons faite
du recollement et de l’application
ψ repose sur plusieurs choix arbitraires.
Considérons par exemple une fonction ν de classe C
∞ , de R + dans R +
et telle que lim ρ→+∞ ν(ρ) = +∞. On peut définir un pré-recollement w ν,ρ
en remplaçant v(s − ρ) par v(s − ν(ρ)) dans les formules que nous avons
utilisées :
w ν,ρ (s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(s + ρ, t)
s i s ≤ −1
exp y(t)
β
− (s) exp
−1
y(t) u(s + ρ, t)
+β
+ (s) exp
−1
y(t) v(s − ν(ρ), t)
si s ∈ [−1, 1]
v(s − ν(ρ))
si s ≥ 1.
Les lecteurs sont invités à vérifier que, en reprenant la construction du
recollement à partir de w ν,ρ , ils obtiennent bien une application continue
ψ ν : [ρ ν , +∞[ −→ M(x, z)
telle que
lim
ρ→+∞
π ◦ ψ ν (ρ) = ( u,
v).
Ils vérifieront aussi que, si ν est croissante, l’application
ψ ν = π ◦ ψ ν est une
immersion injective. Le cas de
ψ est celui où ν = Id.