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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Il reste à montrer que
ψ est une immersion injective (au moins pour ρ n
assez grand), ce que nous faisons dans le paragraphe suivant. Notons que le
lemme 9.4.17 impliquera que cette immersion injective est propre et donc
un plongement.
9.5. Propriétés de
ψ :
ψ est une immersion
Nous voulons montrer que
ψ est une immersion. Il s’agit de vérifier que
∂ψ/∂ρ n’est pas dans le noyau de la projection dπ. Ici π désigne le passage
au quotient M(x, z) → L(x, z), de sorte que le noyau de (dπ) ψ est engendré
par ∂ψ/∂s. Supposer que ψ n’est pas une immersion revient donc à supposer
l’existence de suites (ρ n ) et (α n ) telles que
∂ψ
∂ρ
(ρ n ) = α n
∂ψ
∂s
(ρ n ).
Comme ψ(ρ) est proche de w ρ , on en déduira au § 13.6 le lemme :
Lemme 9.5.1. La suite (α n ) est bornée et l’on a
lim
n→+∞
∂w ρ
∂ρ
− α n
∂w ρ
∂s
ρn
L p
= 0.
Alors, pour s ≤ −1, w ρ (s, t) = u(s + ρ, t), donc
∂w ρ
∂ρ
=
∂u
∂s
(s + ρ)
donc le lemme implique
lim
n→+∞
∂u
∂s
(s + ρ n , t) − α n
∂u
∂s
(s + ρ n , t)
L p (]−∞,−1]×S 1 )
= 0,
d’où l’on déduit que α n tend vers 1. En considérant de même les valeurs de
s ≥ 1, on obtient
lim
n→+∞
−
∂v
∂s
(s − ρ n , t) − α n
∂v
∂s
(s − ρ n , t)
L p ([1,+∞[×S 1 )
= 0,
d’où l’on déduit cette fois que α n tend vers −1, la contradiction recherchée.
Ainsi,
ψ est une immersion (pour ρ assez grand). Mais elle est aussi
injective : son image est contenue dans une composante connexe de la variété
(de dimension 1) L(x, z), qui n’est pas compacte (puisque lim ρ→+∞
ψ(ρ) ∈
L(x, z)). Cette composante est donc difféomorphe à un intervalle. Dans ce
cas, une immersion
ψ est injective (par le théorème de Rolle).