9.4. CONSTRUCTION DE ψ
301
Conclusion. Pour ρ ≥ ρ 0 , nous avons construit
γ(ρ) ∈ W
⊥
ρ ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ),
une fonction continue et dérivable de ρ telle que F ρ (γ(ρ)) = 0 et qui vérifie
de plus
lim
ρ→+∞
γ(ρ) W 1,p = lim
ρ→+∞
∂γ
∂ρ
W 1,p
= 0.
Grâce à la trivialisation Z
ρ
i , on déduit de γ(ρ) un champ de vecteurs le
long de w ρ , un élément, donc, de T wρ P(x, z), encore noté γ(ρ). Que nous
transformons en un élément de M(x, z) par l’exponentielle,
ψ(ρ) = exp wρ γ(ρ) ∈ M(x, z)
de façon que l’application ρ → ψ(ρ) est une application différentiable et que
ψ(ρ) comme sa dérivée tendent vers 0 dans W
1,p quand ρ tend vers l’infini.
En projetant ψ sur l’espace de trajectoires L(x, z), on obtient le désiré
ψ = π ◦ ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, z)
dont il reste à vérifier qu’il possède les propriétés attendues.
Lemme 9.4.17.
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = ( u,
v) ∈ L(x, z).
Démonstration. Considérons en effet une suite (ρ n ) tendant vers l’infini et
ψ ρn = ψ(ρ n ) = exp wρ n (γ(ρ n )).
Pour s ≤ −1, on a
ψ ρn (s, t) = exp u(s+ρn,t) γ ρn (s, t).
Soit K un compact dans R × S
1 . Pour n assez grand et (s, t) ∈ K, on a
ψ ρn (s − ρ n , t) = exp u(s,t) γ ρn (s − ρ n , t) et
γ ρn (s − ρ n , t) W 1,p (K) ≤ ≤γ ρn (s − ρ n , t) W 1,p = γ ρn (s, t) W 1,p
dont nous avons vu (dans le lemme 9.4.13) qu’elle tend vers 0 quand n tend
vers l’infini. Puisque W
1,p (K) ⊂ C
0 (K), on voit que γ ρn tend vers 0 dans
C
0 (K) et donc ψ ρn (s − ρ n , t) tend vers u dans C
0
loc (R × S
1 ; W ). Comme
nos éléments sont dans M, la convergence dans C
0
loc implique la convergence
dans C
∞
loc , toujours par régularité elliptique (le lemme 12.1.1). On démontre
de façon analogue que
lim
n→+∞
ψ ρn (s + ρ n , t) = v(s, t)
dans C
∞
loc . D’où il suit que
ψ n tend bien vers ( u,
v).
301
Conclusion. Pour ρ ≥ ρ 0 , nous avons construit
γ(ρ) ∈ W
⊥
ρ ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ),
une fonction continue et dérivable de ρ telle que F ρ (γ(ρ)) = 0 et qui vérifie
de plus
lim
ρ→+∞
γ(ρ) W 1,p = lim
ρ→+∞
∂γ
∂ρ
W 1,p
= 0.
Grâce à la trivialisation Z
ρ
i , on déduit de γ(ρ) un champ de vecteurs le
long de w ρ , un élément, donc, de T wρ P(x, z), encore noté γ(ρ). Que nous
transformons en un élément de M(x, z) par l’exponentielle,
ψ(ρ) = exp wρ γ(ρ) ∈ M(x, z)
de façon que l’application ρ → ψ(ρ) est une application différentiable et que
ψ(ρ) comme sa dérivée tendent vers 0 dans W
1,p quand ρ tend vers l’infini.
En projetant ψ sur l’espace de trajectoires L(x, z), on obtient le désiré
ψ = π ◦ ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, z)
dont il reste à vérifier qu’il possède les propriétés attendues.
Lemme 9.4.17.
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = ( u,
v) ∈ L(x, z).
Démonstration. Considérons en effet une suite (ρ n ) tendant vers l’infini et
ψ ρn = ψ(ρ n ) = exp wρ n (γ(ρ n )).
Pour s ≤ −1, on a
ψ ρn (s, t) = exp u(s+ρn,t) γ ρn (s, t).
Soit K un compact dans R × S
1 . Pour n assez grand et (s, t) ∈ K, on a
ψ ρn (s − ρ n , t) = exp u(s,t) γ ρn (s − ρ n , t) et
γ ρn (s − ρ n , t) W 1,p (K) ≤ ≤γ ρn (s − ρ n , t) W 1,p = γ ρn (s, t) W 1,p
dont nous avons vu (dans le lemme 9.4.13) qu’elle tend vers 0 quand n tend
vers l’infini. Puisque W
1,p (K) ⊂ C
0 (K), on voit que γ ρn tend vers 0 dans
C
0 (K) et donc ψ ρn (s − ρ n , t) tend vers u dans C
0
loc (R × S
1 ; W ). Comme
nos éléments sont dans M, la convergence dans C
0
loc implique la convergence
dans C
∞
loc , toujours par régularité elliptique (le lemme 12.1.1). On démontre
de façon analogue que
lim
n→+∞
ψ ρn (s + ρ n , t) = v(s, t)
dans C
∞
loc . D’où il suit que
ψ n tend bien vers ( u,
v).