9.4. CONSTRUCTION DE ψ
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Continuité et dérivabilité de γ. Nous allons appliquer le théorème des fonctions implicites. Notons
W (ε)
⊥ =
(ρ, Y ) | ρ ≥ ρ 0 , Y ∈ W
⊥
ρ et Y < ε
et définissons F : W (ε)
⊥
→ L
p (R × S
1 ; R
2n ) par F (ρ, Y ) = F ρ (Y ), de sorte
que nous avons
F (ρ, γ(ρ)) = 0 pour tout ρ ≥ ρ 0 .
Lemme 9.4.14. Pour tout ρ assez grand (et plus grand que ρ 0 ), la dérivée
(d 2 F ) ρ,γ(ρ) = (dF ρ ) γ(ρ)
est inversible.
Démonstration. Fixons ρ. La différentielle de F ρ est une application linéaire
(dF ρ ) γ(ρ) : W
⊥
ρ −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Considérons l’inverse G ρ de (dF ρ ) 0 construit ci-dessus,
G ρ : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ W
⊥
ρ .
Pour la norme opératorielle, nous avons
G ρ (dF ρ ) γ(ρ) − Id
=
G ρ (dF ρ ) γ(ρ) − G ρ (dF ρ ) 0
≤ ≤G ρ
(dF ρ ) γ(ρ) − (dF ρ ) 0
≤ C
−1 K γ(ρ)) W 1,p
grâce au lemme 9.4.8 que nous avons déjà utilisé. Comme nous avons vu
(dans le lemme 9.4.13) que la norme W
1,p de γ tend vers 0, nous pouvons
en déduire que G ρ ◦ (dF ρ ) γ(ρ) est inversible pour ρ assez grand et donc que
(dF ρ ) γ(ρ) l’est aussi.
Ceci nous permet d’appliquer le théorème des fonctions implicites et de
conclure que γ est continue et dérivable pour ρ assez grand. Démontrons
maintenant :
Proposition 9.4.15.
lim
ρ→+∞
∂γ
∂ρ
W 1,p
= 0.
Démonstration. Comme F (ρ, γ(ρ)) = 0, on a
∂F
∂ρ
(ρ, γ(ρ)) + (dF ρ ) γ(ρ)
∂γ
∂ρ
= 0.