298
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Cela tend vers 0 en application du lemme 9.4.9. Les deux relations ci-dessus
impliquent que
lim
n→+∞
R×S 1
β
− (s + 1)Y n (s, t), Y # ρn 0 ds dt = 0
et donc
lim
n→+∞
R×S 1
Y # ρn 0, Y # ρn 0 ds dt = 0.
Pour s ≤ −1, Y # ρn 0(s, t) = Y (s + ρ n , t), donc
lim
n→+∞
S 1
−1
−∞
Y (s + ρ n , t), Y (s + ρ n , t) ds dt = 0,
ou encore
lim
n→+∞
S 1
−1+ρn
−∞
Y (s, t)
2 ds dt = 0
et enfin Y = 0 et β
− (s + 1)Y n (s, t) W 1,p tend vers 0. On montre de manière
analogue qu’il en est de même de β
+ (s − 1)Y n (s, t) W 1,p . Ce qui achève la
démonstration du lemme 9.4.12.
Et qui va nous permettre de finir celle de la proposition 9.4.7. On a
1 = Y n (s, t) W 1,p
≤
β
− (s + 1)Y n (s, t)
W 1,p +
β
+ (s − 1)Y n (s, t)
W 1,p
+
(1 − β
− (s + 1) − β
+ (s − 1)Y n (s, t)
W 1,p .
Les deux premiers termes tendent vers 0 en application du lemme 9.4.12
et le dernier aussi, en application, pour lui, du lemme 9.4.9. Ce qui est
l’incontestable contradiction recherchée.
Nous pouvons donc appliquer la méthode de Newton-Picard et obtenir,
pour tout ρ ≥ ρ 0 un élément γ(ρ) de W
⊥
ρ qui vérifie F ρ (γ(ρ)) = 0. De
plus, cet élément γ(ρ) est unique dans W
⊥
ρ ∩ B(0, ε) où, rappelons-le, ε est
indépendant de ρ (c’est le lemme 9.4.4). Remarquons aussi que l’on a :
Lemme 9.4.13.
lim
ρ→+∞
γ(ρ) W 1,p = 0.
Démonstration. En vertu du lemme « de Newton-Picard » 9.4.4, nous avons
γ(ρ) W 1,p ≤ 2 G ρ F ρ (0) W 1,p ≤ 2C
−1
F ρ (0) L p = 2C
−1
F(w ρ ) L p
qui tend vers 0 quand ρ tend vers l’infini.