9.4. CONSTRUCTION DE ψ
297
Lemme 9.4.12. Les suites β
− (s + 1)Y n (s, t) et β
+ (s − 1)Y n (s, t) convergent
vers 0 dans W
1,p .
Démonstration. Soit Y ∈ Ker L
u un champ de vecteurs donné par le
lemme 9.4.10. On forme Y # ρ 0, qui est un élément de W ρ . Le lemme 9.4.10
affirme que β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t) tend vers Y (dans W
1,p ), de sorte
que
lim
n→+∞
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y (s + ρ n , t)
W 1,p = 0,
et qu’en particulier
lim
n→+∞
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0
W 1,p (]−∞,−1]×S 1 ) = 0.
Ensuite β
− (s+1)Y n (s, t)−Y # ρn 0 est à support dans ]−∞, 0]×S
1 et Y # ρn 0
tend vers 0 au sens C
∞
loc donc aussi au sens W
1,p ([−1, 0] × S
1 ). Remarquons
en effet que Y est dans le noyau de L
u , donc C
∞ (par régularité elliptique)
et que Y est un multiple scalaire de ∂u/∂s. On obtient donc, en utilisant
aussi le lemme 9.4.9 que β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0 W 1,p tend vers 0.
Comme Y est à décroissance exponentielle, il est dans L
q pour tout q ≥ 1
ainsi que Y # ρn 0. Avec 1/p + 1/q = 1, l’inégalité de Hölder donne
R×S 1
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t), Y # ρn 0(s, t) ds dt
≤
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t)
L p Y # ρn 0 L q .
La norme Y # ρn 0 L q est bornée par Y L q dans L
q (]−∞, −1]×S
1 ) et tend
vers 0 dans L
q ([−1, +∞[ × S
1 ), de sorte qu’elle est uniformément bornée.
On obtient donc
lim
n→+∞
R×S 1
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t), Y # ρn 0(s, t) ds dt = 0.
Comme Y # ρn 0 ∈ W ρn et Y n ∈ W
⊥
ρ n
, on a
R×S 1
Y n , Y # ρn 0 ds dt = 0.
Par ailleurs, on a
lim
n→+∞
R×S 1
(1 − β
− (s + 1))Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t) ds dt = 0
puisque le terme à intégrer est à support dans [−1, 0] × S
1 et, comme cidessus en utilisant l’inégalité de Hölder, que le module de l’intégrale est
majoré par
Y n L p ([−1,0]×S 1 · ·Y # ρn 0 L q ([−1,0]×S 1 ) .
297
Lemme 9.4.12. Les suites β
− (s + 1)Y n (s, t) et β
+ (s − 1)Y n (s, t) convergent
vers 0 dans W
1,p .
Démonstration. Soit Y ∈ Ker L
u un champ de vecteurs donné par le
lemme 9.4.10. On forme Y # ρ 0, qui est un élément de W ρ . Le lemme 9.4.10
affirme que β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t) tend vers Y (dans W
1,p ), de sorte
que
lim
n→+∞
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y (s + ρ n , t)
W 1,p = 0,
et qu’en particulier
lim
n→+∞
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0
W 1,p (]−∞,−1]×S 1 ) = 0.
Ensuite β
− (s+1)Y n (s, t)−Y # ρn 0 est à support dans ]−∞, 0]×S
1 et Y # ρn 0
tend vers 0 au sens C
∞
loc donc aussi au sens W
1,p ([−1, 0] × S
1 ). Remarquons
en effet que Y est dans le noyau de L
u , donc C
∞ (par régularité elliptique)
et que Y est un multiple scalaire de ∂u/∂s. On obtient donc, en utilisant
aussi le lemme 9.4.9 que β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0 W 1,p tend vers 0.
Comme Y est à décroissance exponentielle, il est dans L
q pour tout q ≥ 1
ainsi que Y # ρn 0. Avec 1/p + 1/q = 1, l’inégalité de Hölder donne
R×S 1
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t), Y # ρn 0(s, t) ds dt
≤
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t)
L p Y # ρn 0 L q .
La norme Y # ρn 0 L q est bornée par Y L q dans L
q (]−∞, −1]×S
1 ) et tend
vers 0 dans L
q ([−1, +∞[ × S
1 ), de sorte qu’elle est uniformément bornée.
On obtient donc
lim
n→+∞
R×S 1
β
− (s + 1)Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t), Y # ρn 0(s, t) ds dt = 0.
Comme Y # ρn 0 ∈ W ρn et Y n ∈ W
⊥
ρ n
, on a
R×S 1
Y n , Y # ρn 0 ds dt = 0.
Par ailleurs, on a
lim
n→+∞
R×S 1
(1 − β
− (s + 1))Y n (s, t) − Y # ρn 0(s, t) ds dt = 0
puisque le terme à intégrer est à support dans [−1, 0] × S
1 et, comme cidessus en utilisant l’inégalité de Hölder, que le module de l’intégrale est
majoré par
Y n L p ([−1,0]×S 1 · ·Y # ρn 0 L q ([−1,0]×S 1 ) .