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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Lequel lemme affirme, puisque la norme W
1,p de Y n vaut 1, que son
support tend à se concentrer vers |s| → +∞.
Nous allons utiliser les relations entre L ρn , L
u et L
v pour |s| assez grand.
Lemme 9.4.10. Soient β
± les deux fonctions utilisées pour fabriquer la
solution approchée w ρ . Il existe des champs de vecteurs Y ∈ Ker L
u et
Z ∈ Ker L
v tels que, à extraction de sous-suites près,
β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t) tend vers Y dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
et
β
+ (s + ρ n − 1)Y n (s + ρ n , t) tend vers Z dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Démonstration. Rappelons que β
− (s + 1) = 0 pour s ≥ −1, ce qui fait que
β
− (s + 1)Y n (s, t) est à support dans ] − ∞, −1] × S
1 . On en déduit que
L
u(s+ρn,t) (β
− (s+1)Y n (s, t))
L p =
L ρn (β
− (s + 1)Y n (s, t))
L p
=
˙
β
− (s + 1)Y n (s, t) + β
− (s + 1)L ρn (Y n (s, t))
L p
≤ sup ˙
β
−
Y n L p ([−1,1]×S 1 ) + L ρn Y n L p
qui tend vers 0 d’après le lemme 9.4.9. Remplacer s par s − ρ n donne
lim
n→+∞
L
u (β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t))
L p = 0.
De manière analogue, on a aussi
lim
n→+∞
L
v (β
+ (s + ρ n − 1)Y n (s + ρ n , t))
L p = 0.
La démonstration du lemme 9.4.10 est alors conséquence directe du lemme
général suivant.
Lemme 9.4.11. Soit D : E → F un opérateur (linéaire) de Fredholm. Soit
(x n ) une suite bornée d’éléments de E telle que la suite (D(x n )) tende vers 0
dans F . Alors il existe une sous-suite de (x n ) qui converge vers un élément x
de Ker D ⊂ E.
Démonstration. Puisque D est de Fredholm, nous savons qu’il existe un
opérateur D
tel que
D
◦ D = Id +K,
où K est un opérateur de rang fini (c’est la proposition 16.2.5), ce dont il
suit que la suite (x n + K(x n )) tend vers 0. À extraction d’une sous-suite
près, la suite (K(x n )) est convergente, ce qui fournit une sous-suite de (x n )
qui converge.
Ce qui achève la démonstration du lemme 9.4.10.
Et nous amène à l’énoncé d’un autre lemme.
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Lequel lemme affirme, puisque la norme W
1,p de Y n vaut 1, que son
support tend à se concentrer vers |s| → +∞.
Nous allons utiliser les relations entre L ρn , L
u et L
v pour |s| assez grand.
Lemme 9.4.10. Soient β
± les deux fonctions utilisées pour fabriquer la
solution approchée w ρ . Il existe des champs de vecteurs Y ∈ Ker L
u et
Z ∈ Ker L
v tels que, à extraction de sous-suites près,
β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t) tend vers Y dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
et
β
+ (s + ρ n − 1)Y n (s + ρ n , t) tend vers Z dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Démonstration. Rappelons que β
− (s + 1) = 0 pour s ≥ −1, ce qui fait que
β
− (s + 1)Y n (s, t) est à support dans ] − ∞, −1] × S
1 . On en déduit que
L
u(s+ρn,t) (β
− (s+1)Y n (s, t))
L p =
L ρn (β
− (s + 1)Y n (s, t))
L p
=
˙
β
− (s + 1)Y n (s, t) + β
− (s + 1)L ρn (Y n (s, t))
L p
≤ sup ˙
β
−
Y n L p ([−1,1]×S 1 ) + L ρn Y n L p
qui tend vers 0 d’après le lemme 9.4.9. Remplacer s par s − ρ n donne
lim
n→+∞
L
u (β
− (s − ρ n + 1)Y n (s − ρ n , t))
L p = 0.
De manière analogue, on a aussi
lim
n→+∞
L
v (β
+ (s + ρ n − 1)Y n (s + ρ n , t))
L p = 0.
La démonstration du lemme 9.4.10 est alors conséquence directe du lemme
général suivant.
Lemme 9.4.11. Soit D : E → F un opérateur (linéaire) de Fredholm. Soit
(x n ) une suite bornée d’éléments de E telle que la suite (D(x n )) tende vers 0
dans F . Alors il existe une sous-suite de (x n ) qui converge vers un élément x
de Ker D ⊂ E.
Démonstration. Puisque D est de Fredholm, nous savons qu’il existe un
opérateur D
tel que
D
◦ D = Id +K,
où K est un opérateur de rang fini (c’est la proposition 16.2.5), ce dont il
suit que la suite (x n + K(x n )) tend vers 0. À extraction d’une sous-suite
près, la suite (K(x n )) est convergente, ce qui fournit une sous-suite de (x n )
qui converge.
Ce qui achève la démonstration du lemme 9.4.10.
Et nous amène à l’énoncé d’un autre lemme.