9.4. CONSTRUCTION DE ψ
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où M est la borne supérieure de | ˙
γ(s)| sur R. Il s’ensuit que
D(γ n Y n ) L p ≤
M
r n
Y n L p + (D − L ρn )Y n L p ([−rn,rn]×S 1 )
+ L ρn (Y n ) L p ([−rn,rn]×S 1 )
≤
M
r n
Y n L p + (S
y
− S ρn )Y n L p ([−rn,rn]×S 1 )
+ L ρn (Y n ) L p .
Comme Y n L p ≤ ≤Y n W 1,p = 1 et comme L ρn (Y n ) L p tend vers 0, cela
donne
D(γ n Y n ) L p ≤ ≤(S
y
− S ρn )Y n L p + τ n
pour un τ n ≥ 0 tendant vers 0 quand n tend vers l’infini. On remarque
ensuite que
(S
y
− S ρn )Y n L p ([−rn,rn]×S 1 ) ≤
sup
(s,t)∈[−rn,rn]×S 1
S ρn (s, t) − S
y (t) Y n L p
≤
sup
(s,t)∈[−rn,rn]×S 1
S ρn (s, t) − S
y (t) .
Pour s ≤ −1, S ρn (s, t) = S
u (s + ρ n , t), donc le supremum, pour (s, t) ∈
[−r n , −1] × S
1 , de S ρn (s, t) − S
y (t) est égal à
sup
(s,t)∈[−rn,−1]×S 1
S
u (s + ρ n , t) − S
y (t) ,
c’est-à-dire à
sup
(s,t)∈[rn,ρn−1]×S 1
S
u (s, t) − S
y (t)
et ce supremum tend donc vers 0. De même, pour s ≥ 1, en utilisant le fait
que S ρn (s, t) = S
v (s − ρ n , t), on vérifie que
lim
n→+∞
sup
(s,t)∈[1,rn]×S 1
S ρn (s, t) − S
y (t) = 0.
Enfin on a
lim
n→+∞
sup
(s,t)∈[−1,1]×S 1
S ρn (s, t) − S
y (t) = 0
puisque S ρn (s, t) tend vers S
y (t) au sens C
∞
loc . Nous avons bien montré que
D(γ n Y n ) tend vers 0 en norme L
p , ce qui va nous permettre d’achever la
démonstration du lemme.
Nous savons (voir la proposition 8.7.3 dans la démonstration du fait
que F est un opérateur de Fredholm) que D : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) →
L
p (R × S
1 ; R
2n ) est inversible. Du fait que D(γ n Y n ) L p tend vers 0, on
déduit que γ n Y n W 1,p tend vers 0 et donc que
lim
n→+∞
Y n W 1,p (K) = 0,
ce qui achève en effet la démonstration du lemme.