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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
(2) Vérifions enfin la condition (3) du lemme. On a
G ρ F ρ (0) ≤ C
−1
F ρ (0) = C
−1
F(w ρ )
qui tend vers 0 quand ρ tend vers l’infini, de sorte que l’on a bien
G ρ F ρ (0) ≤ ε/2 pour ρ assez grand. On peut appliquer le lemme de
Newton-Picard.
Démonstration de la proposition 9.4.7. Supposons, par l’absurde, qu’il existe une suite (ρ n ) tendant vers l’infini et Y n ∈ W
⊥
ρ n
tels que
lim
n→+∞
L ρn Y n L p
Y n W 1,p
= 0.
En normalisant, nous supposerons que Y n = 1.
Lemme 9.4.9. Soit K = [−a, a] × S
1
⊂ R × S
1 . Alors
lim
n→∞
Y n W 1,p (K) = 0.
Démonstration. Considérons l’opérateur
D : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
défini par
D(Y ) =
∂Y
∂s
(s, t) + J 0
∂Y
∂t
(s, t) + S
y (t) · Y (s, t)
où t → S
y (t) est le chemin de matrices symétriques correspondant à la
trivialisation choisie le long du lacet y. Comme nous le savons déjà,
(dF) wρ (Y ) =
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
− (dJ) wρ (Y )
∂w ρ
∂t
+ d(grad wρ H t )(Y ).
Comme w ρ tend vers y (au sens C
∞
loc ) quand ρ tend vers l’infini, la partie
d’ordre 0 de cet opérateur tend vers la partie d’ordre 0 de (dF) y . Comme
nous avons choisi les trivialisations de façon que Z
ρ
i (s, t) tende vers Z
y
i (t)
(toujours au sens C
∞
loc ), on a
lim
ρ→∞
S ρ (s, t) = S
y (t) au sens C
∞
loc .
Posons r n = ρ n /2, choisissons une fonction plateau γ qui vaut 1 pour |s| ≤
1/2 et 0 pour |s| ≥ 1 et définissons enfin γ n (s) = γ(s/r n ).
Montrons que D(γ n Y n ) tend vers 0 en norme L
p . On a en effet
D(γ n Y n ) L p =
γ n D(Y n ) +
1
r n
˙
γY n
L p
≤
1
r n
˙
γY n L p + γ n D(Y n ) L p
≤
M
r n
Y n L p + D(Y n ) L p ([−rn,rn]×S 1