9.4. CONSTRUCTION DE ψ
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et la première propriété transforme ces deux inégalités en égalités. On a
ainsi
W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) = Ker L ρ ⊕ W
⊥
ρ .
On peut dire, intuitivement, que le noyau de (dF) u#ρv est proche de
Ker(dF) u # ρ Ker(dF) v quand ρ est assez grand.
(3) Par conséquent,
L ρ : W
⊥
ρ
∼ = W
1,p (R × S
1 ; R
2n )/ Ker L ρ −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ) = Im L ρ
est bijective. On pose
G ρ = L
−1
ρ : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ W
⊥
ρ .
(4) Cette application G ρ est continue, puisqu’en effet la proposition affirme que
G ρ (Y ) W 1,p ≤
1
C
L ρ G ρ (Y ) L p =
1
C
Y L p .
Les hypothèses (2) et (3) du lemme 9.4.4 sont aussi des conséquences de
la proposition :
(1) Vérifions maintenant l’hypothèse (2) du lemme (en omettant ρ dans
l’écriture). On a
GN x − GN y ≤ C
−1
N (x) − N (y) ≤ C
−1 sup
z∈[x,y]
(dN ) z x − y
par l’inégalité des accroissements finis. Le fait que (dN ) z soit, sur le segment [x, y], bornée par K z où K est indépendant de ρ, de x et de y,
est conséquence du lemme 9.4.8, un des lemmes techniques démontrés au
chapitre 13 (au § 13.2),
(dN ) z ≤ K z
(voir le chapitre 13) puisque
(dN ) z = (dF) z − (dF) 0 .
On en déduit
GN x − GN y ≤ C
−1
N (x) − N (y)
≤ C
−1 K sup
z∈[x,y])
z x − y
≤ C
−1 K(x + y) x − y
et l’hypothèse (2) est bien satisfaite.
Lemme 9.4.8. Soit r 0 > 0. Il existe une constante K > 0 telle que, pour tout
ρ ≥ ρ 0 et pour tout Z ∈ B(0, r 0 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), on ait
(dF ρ ) Z − (dF ρ ) 0
op ≤ K Z W 1,p .