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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
(2) Comme on a, grâce à la décroissance exponentielle (§ 8.9),
sup
∂u
∂s
,
∂v
∂s
≤ Ke
−δ|s| ,
les vecteurs ∂u/∂s et ∂v/∂s sont dans L
q pour tout q ≥ 1, donc
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), ∀ α ∈ Ker L
u , ∀ β ∈ Ker L
v , Y, α# ρ β ∈ L
1 .
(3) L’espace W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) est somme directe de W ρ et de W
⊥
ρ .
C’est un fait simple et assez général que l’on peut énoncer sous forme d’un
lemme :
Lemme 9.4.6. On suppose que 1/p + 1/q = 1. Soit E un sous-espace de
dimension finie de W
1,p
∩ L
q . Soit
E
⊥ =
Y ∈ W
1,p
|
Y, X ds dt = 0 pour tout X ∈ E
.
Alors W
1,p = E ⊕ E
⊥ .
En effet, il est clair que ces deux sous-espaces ne se rencontrent qu’en 0.
Puis, par l’inégalité de Hölder, comme E ⊂ L
p
∩ L
q , on a E ⊂ L
2 . Il suffit
maintenant de choisir une base orthonormale {e 1 , . . . , e r } de E, grâce à
laquelle tout élément Z de W
1,p satisfait à
Z − −e 1 , Z e 1 − · · · − −e r , Z e r ∈ E
⊥
d’où le résultat annoncé.
Comme W ρ est l’image de l’espace de dimension 2, Ker L
u
× Ker L
v , par
l’application linéaire # ρ , nous savons que dim W ρ ≤ 2, de sorte que le lemme
s’applique.
La proposition ci-dessous est importante. Elle permet de définir G ρ et de
vérifier les hypothèses du lemme.
Proposition 9.4.7. Il existe une constante C > 0 telle que, pour ρ ≥ ρ 0 ,
∀ Y ∈ W
⊥
ρ , L ρ (Y ) L p ≥ C Y W 1,p .
Voici tout d’abord une liste de conséquences de cette proposition. On
suppose ρ ≥ ρ 0 .
(1) D’abord, on a clairement Ker L ρ ∩ W
⊥
ρ = 0.
(2) L’application L ρ est surjective et dim Ker L ρ = dim W ρ = 2. En effet,
on a toujours
dim Ker L ρ ≥ Ind(L ρ ) = 2
et
codim W
⊥
ρ = dim W ρ ≤ dim(Ker L
u
× Ker L
v ) = 2
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
(2) Comme on a, grâce à la décroissance exponentielle (§ 8.9),
sup
∂u
∂s
,
∂v
∂s
≤ Ke
−δ|s| ,
les vecteurs ∂u/∂s et ∂v/∂s sont dans L
q pour tout q ≥ 1, donc
∀ Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ), ∀ α ∈ Ker L
u , ∀ β ∈ Ker L
v , Y, α# ρ β ∈ L
1 .
(3) L’espace W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) est somme directe de W ρ et de W
⊥
ρ .
C’est un fait simple et assez général que l’on peut énoncer sous forme d’un
lemme :
Lemme 9.4.6. On suppose que 1/p + 1/q = 1. Soit E un sous-espace de
dimension finie de W
1,p
∩ L
q . Soit
E
⊥ =
Y ∈ W
1,p
|
Y, X ds dt = 0 pour tout X ∈ E
.
Alors W
1,p = E ⊕ E
⊥ .
En effet, il est clair que ces deux sous-espaces ne se rencontrent qu’en 0.
Puis, par l’inégalité de Hölder, comme E ⊂ L
p
∩ L
q , on a E ⊂ L
2 . Il suffit
maintenant de choisir une base orthonormale {e 1 , . . . , e r } de E, grâce à
laquelle tout élément Z de W
1,p satisfait à
Z − −e 1 , Z e 1 − · · · − −e r , Z e r ∈ E
⊥
d’où le résultat annoncé.
Comme W ρ est l’image de l’espace de dimension 2, Ker L
u
× Ker L
v , par
l’application linéaire # ρ , nous savons que dim W ρ ≤ 2, de sorte que le lemme
s’applique.
La proposition ci-dessous est importante. Elle permet de définir G ρ et de
vérifier les hypothèses du lemme.
Proposition 9.4.7. Il existe une constante C > 0 telle que, pour ρ ≥ ρ 0 ,
∀ Y ∈ W
⊥
ρ , L ρ (Y ) L p ≥ C Y W 1,p .
Voici tout d’abord une liste de conséquences de cette proposition. On
suppose ρ ≥ ρ 0 .
(1) D’abord, on a clairement Ker L ρ ∩ W
⊥
ρ = 0.
(2) L’application L ρ est surjective et dim Ker L ρ = dim W ρ = 2. En effet,
on a toujours
dim Ker L ρ ≥ Ind(L ρ ) = 2
et
codim W
⊥
ρ = dim W ρ ≤ dim(Ker L
u
× Ker L
v ) = 2