9.4. CONSTRUCTION DE ψ
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est une suite de Cauchy. Elle converge donc vers une limite α qui est un
point fixe de ϕ et qui est l’unique point fixe à cause de l’inégalité que nous
venons de démontrer.
Pour finir, démontrons l’inégalité affirmée dans l’énoncé du lemme. On a
1
2
α =
1
2
α − 0 ≥ ≥ϕ(α) − ϕ(0) = α − ϕ(0) ≥ ≥α − −ϕ(0) .
Il s’ensuit que
α ≤ 2 ϕ(0) = 2 GF (0) .
Application du lemme. Nous allons appliquer le lemme 9.4.4 à l’application
F ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Il nous faut donc déterminer un inverse à droite G ρ de la différentielle L ρ
en 0, et vérifier que ce G ρ satisfait aux hypothèses du lemme. Comme nous
l’avons dit, nous allons obtenir G ρ à l’aide d’un sous-espace W
⊥
ρ . Nous
commençons donc par définir celui-ci.
Les différentielles (dF) u et (dF) v , dans les trivialisations Z
u
i et Z
v
i , sont
notées L
u , L
v ; on considère, via ces trivialisations,
Ker L
u
⊂ T u P(x, y) et KerL
v
⊂ T v P(y, z).
On définit W ρ comme la « somme # ρ » de ces sous-espaces,
W ρ = {α# ρ β | α ∈ Ker L
u , β ∈ Ker L
v
} .
On définit ensuite W
⊥
ρ comme son orthogonal, c’est-à-dire comme
W
⊥
ρ =
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) |
R×S 1
Y, α# ρ β ds dt = 0 pour tous α ∈ Ker L
u , β ∈ Ker L
v
,
(toujours en utilisant le repère (Z
ρ
i ) i=1,...,2n pour considérer α# ρ β comme
un élément de W
1,p (R × S
1 ; R
2n )).
Remarques 9.4.5.
(1) Les deux solutions u et v de l’équation de Floer relient des points
critiques d’indices consécutifs. Comme la paire (H, J) est régulière, nous
savons donc que L
u et L
v sont surjectifs. Comme leurs indices de Fredholm
valent 1, les noyaux de L
u et de L
v sont de dimension 1. Grâce à la remarque
8.4.8, nous pouvons donc affirmer que
Ker L
u = R ·
∂u
∂s
et Ker L
v = R ·
∂v
∂s
(où l’utilisation des repères (Z
u
i ), (Z
v
i ) est sous-entendue).
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est une suite de Cauchy. Elle converge donc vers une limite α qui est un
point fixe de ϕ et qui est l’unique point fixe à cause de l’inégalité que nous
venons de démontrer.
Pour finir, démontrons l’inégalité affirmée dans l’énoncé du lemme. On a
1
2
α =
1
2
α − 0 ≥ ≥ϕ(α) − ϕ(0) = α − ϕ(0) ≥ ≥α − −ϕ(0) .
Il s’ensuit que
α ≤ 2 ϕ(0) = 2 GF (0) .
Application du lemme. Nous allons appliquer le lemme 9.4.4 à l’application
F ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Il nous faut donc déterminer un inverse à droite G ρ de la différentielle L ρ
en 0, et vérifier que ce G ρ satisfait aux hypothèses du lemme. Comme nous
l’avons dit, nous allons obtenir G ρ à l’aide d’un sous-espace W
⊥
ρ . Nous
commençons donc par définir celui-ci.
Les différentielles (dF) u et (dF) v , dans les trivialisations Z
u
i et Z
v
i , sont
notées L
u , L
v ; on considère, via ces trivialisations,
Ker L
u
⊂ T u P(x, y) et KerL
v
⊂ T v P(y, z).
On définit W ρ comme la « somme # ρ » de ces sous-espaces,
W ρ = {α# ρ β | α ∈ Ker L
u , β ∈ Ker L
v
} .
On définit ensuite W
⊥
ρ comme son orthogonal, c’est-à-dire comme
W
⊥
ρ =
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) |
R×S 1
Y, α# ρ β ds dt = 0 pour tous α ∈ Ker L
u , β ∈ Ker L
v
,
(toujours en utilisant le repère (Z
ρ
i ) i=1,...,2n pour considérer α# ρ β comme
un élément de W
1,p (R × S
1 ; R
2n )).
Remarques 9.4.5.
(1) Les deux solutions u et v de l’équation de Floer relient des points
critiques d’indices consécutifs. Comme la paire (H, J) est régulière, nous
savons donc que L
u et L
v sont surjectifs. Comme leurs indices de Fredholm
valent 1, les noyaux de L
u et de L
v sont de dimension 1. Grâce à la remarque
8.4.8, nous pouvons donc affirmer que
Ker L
u = R ·
∂u
∂s
et Ker L
v = R ·
∂v
∂s
(où l’utilisation des repères (Z
u
i ), (Z
v
i ) est sous-entendue).