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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Lemme 9.4.4. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit F : X → Y
une application continue. On écrit
F (x) = F (0) + L(x) + N (x)
où L(x) = (dF ) 0 (x) et on suppose qu’il existe G : Y → X, continue telle
que
(1) L ◦ G = Id ;
(2) GN (x) − GN (y) ≤ C(x + y) x − y pour tous x, y ∈ B(0, r) ;
(3) GF (0) ≤ ε/2 où ε = min (r, 1/5C).
Alors il existe un unique α ∈ Im(G) ∩ B(0, ε) tel que F (α) = 0. De plus,
on a α ≤ 2 GF (0).
Démonstration. En gardant la méthode de Newton-Picard classique en tête,
définissons ϕ : B(0, ε) → Im(G) par
ϕ(x) = G(L(x) − F (x)) = −G(F (0) + N (x)).
Remarquons que
Lϕ(x) = L(x) − F (x).
Donc, si ϕ(x) = x, F (x) = 0. Réciproquement, si F (x) = 0 et x = G(y),
alors
ϕ(x) = GL(x) = GLG(y) = G(y) = x.
Nous allons donc montrer que ϕ a un unique point fixe dans B(0, ε).
D’abord, ϕ envoie la boule de rayon ε dans elle-même : si x ≤ ε, on a
ϕ(x) = G(F (0) + N (x)) ≤ ≤GF (0) + GN (x)
≤
ε
2
+ C x
2
≤
ε
2
+ Cε
2
≤
ε
2
+
ε
5
< ε,
suite d’inégalités pour lesquelles on a utilisé les propriétés (2) et (3) ainsi
que le fait que N (0) = 0.
Ensuite, si x et y sont deux points de la boule B(0, ε), on a
ϕ(x) − ϕ(y) = GN (x) − GN (y) ≤ C(x + y) x − y
≤ 2Cε x − y
≤
2
5
x − y ≤
1
2
x − y .
Ainsi la suite définie par
x 0 = 0 et x n+1 = ϕ(x n )