9.4. CONSTRUCTION DE ψ
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exp wρ W
⊥
ρ
M(x, z)
W
⊥
ρ
γ
(exp wρ )
−1 M(x, z)
Ker L ρ
w ρ
ψ(ρ)
Figure 7
Rien d’étonnant à ce que nous devions utiliser un tel sous-espace W
⊥
ρ :
nous savons que M(x, z) est une variété de dimension 2, nous cherchons donc
pour tout ρ un élément γ ∈ (exp wρ )
−1
M(x, z), sous-variété de dimension 2
de T wρ P(x, z). Il est naturel de déterminer un tel γ en intersectant cette
sous-variété avec un sous-espace de codimension 2, notre W
⊥
ρ (on montrera
en effet que dim Ker L ρ = 2). Ce qui est schématisé sur la figure 7.
Nous obtiendrons donc le chemin ψ(ρ) comme intersection dans P(x, z)
de M(x, z) et de l’espace
{exp wρ W
⊥
ρ | ρ ≥ ρ 0 }.
Ce sous-espace est de codimension 1, c’est l’image du fibré W
⊥ des W
⊥
ρ
sur w ρ , un sous-fibré de codimension 2 de w
T P(x, z). Ce qui, à nouveau,
est schématisé sur la figure 8.
w ρ
exp wρ W
⊥
ρ
ψ(ρ)
M(x, z)
Figure 8
La méthode de Newton-Picard (abstraite). Voici l’énoncé précis que nous
utiliserons.