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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Linéarisation de F ρ . Nous déterminons donc maintenant ce qui va jouer
le rôle de la dérivée f
(x 0 ) dans la méthode de Newton-Picard. Notons L ρ
l’opérateur linéarisé (dF ρ ) 0 en 0 de F ρ ,
L ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Proposition 9.4.3. L’opérateur L ρ est un opérateur de Fredholm d’indice 2.
Démonstration. Nous l’avons remarqué au chapitre précédent (c’est la remarque 8.4.5), la différentielle de F est de la forme
(dF) u = ∂ + S(s, t)
pour tout u (et pas seulement pour les solutions de l’équation de Floer).
Dans nos trivialisations, nous avons donc
L ρ (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S ρ (s, t)Y
pour une application
S ρ : R × S
1
−→ M 2n (R).
Comme nous avons choisi la trivialisation le long de w ρ de façon compatible
avec celles le long de u et de v, nous avons que
S ρ (s, t) =
S
u (s + ρ, t) pour s ≤ −1
S
v (s + ρ, t) pour s ≥ 1
où S
u et S
v sont les matrices correspondant aux linéarisations de F le long
de u et v dans les trivialisations Z
u
i et Z
v
i . De sorte qu’en particulier, pour ρ
tendant vers l’infini, S ρ tend vers les chemins de matrices symétriques définis
par les points critiques x et z :
lim
s→−∞
S ρ (s, t) = S
x (t) et
lim
s→+∞
S ρ (s, t) = S
z (t).
Il ne reste qu’à appliquer les résultats du chapitre précédent (précisément
les théorèmes 8.7.1 et 8.8.1) : L ρ est un opérateur de Fredholm d’indice
μ(x) − μ(z) = 2.
Idée de la construction de ψ. Dans la formule définissant la suite récurrente utilisée dans la méthode de Newton-Picard, le terme 1/f
(x 0 ) correspond dans notre situation à un inverse de l’application linéarisée L ρ . Le
fait que celle-ci soit d’indice 2 l’empêche d’être inversible. Nous allons donc
trouver un supplémentaire W
⊥
ρ de Ker L ρ dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tel que
L ρ | W ⊥
ρ
soit inversible (autrement dit, nous déterminerons un inverse à droite
pour L ρ ). Nous appliquerons la méthode de Newton-Picard en partant de
la solution approchée 0 pour trouver une solution de F ρ (γ) = 0.
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Linéarisation de F ρ . Nous déterminons donc maintenant ce qui va jouer
le rôle de la dérivée f
(x 0 ) dans la méthode de Newton-Picard. Notons L ρ
l’opérateur linéarisé (dF ρ ) 0 en 0 de F ρ ,
L ρ : W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Proposition 9.4.3. L’opérateur L ρ est un opérateur de Fredholm d’indice 2.
Démonstration. Nous l’avons remarqué au chapitre précédent (c’est la remarque 8.4.5), la différentielle de F est de la forme
(dF) u = ∂ + S(s, t)
pour tout u (et pas seulement pour les solutions de l’équation de Floer).
Dans nos trivialisations, nous avons donc
L ρ (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S ρ (s, t)Y
pour une application
S ρ : R × S
1
−→ M 2n (R).
Comme nous avons choisi la trivialisation le long de w ρ de façon compatible
avec celles le long de u et de v, nous avons que
S ρ (s, t) =
S
u (s + ρ, t) pour s ≤ −1
S
v (s + ρ, t) pour s ≥ 1
où S
u et S
v sont les matrices correspondant aux linéarisations de F le long
de u et v dans les trivialisations Z
u
i et Z
v
i . De sorte qu’en particulier, pour ρ
tendant vers l’infini, S ρ tend vers les chemins de matrices symétriques définis
par les points critiques x et z :
lim
s→−∞
S ρ (s, t) = S
x (t) et
lim
s→+∞
S ρ (s, t) = S
z (t).
Il ne reste qu’à appliquer les résultats du chapitre précédent (précisément
les théorèmes 8.7.1 et 8.8.1) : L ρ est un opérateur de Fredholm d’indice
μ(x) − μ(z) = 2.
Idée de la construction de ψ. Dans la formule définissant la suite récurrente utilisée dans la méthode de Newton-Picard, le terme 1/f
(x 0 ) correspond dans notre situation à un inverse de l’application linéarisée L ρ . Le
fait que celle-ci soit d’indice 2 l’empêche d’être inversible. Nous allons donc
trouver un supplémentaire W
⊥
ρ de Ker L ρ dans W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) tel que
L ρ | W ⊥
ρ
soit inversible (autrement dit, nous déterminerons un inverse à droite
pour L ρ ). Nous appliquerons la méthode de Newton-Picard en partant de
la solution approchée 0 pour trouver une solution de F ρ (γ) = 0.