9.4. CONSTRUCTION DE ψ
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où r 0 a été choisi inférieur au rayon d’injectivité de la métrique utilisée
sur W et K est la norme de l’injection de W
1,p dans L
∞ (en utilisant les
notations du § 8.2, celles avec lesquelles nous avons défini la structure de
variété de Banach de P(x, y)).
On a, bien sûr, F ρ (0) = [F(w ρ )] Z
ρ
i
. De plus, comme u et v sont des
solutions de l’équation de Floer, on a
F(w ρ ) =
∂w ρ
∂s
+ J
∂w ρ
∂t
+ grad wρ H t = 0 pour |s| ≥ 1.
Sur [−1, 1], w ρ (s, t) tend uniformément (dans la topologie C
∞ ) vers y(t).
Donc, puisque F(y) = 0, F(w ρ ) tend vers 0 quand ρ tend vers +∞, en C
∞
comme en L
p .
La méthode de Newton-Picard, idée générale. Nous cherchons γ =
(γ 1 , . . . , γ 2n ) qui soit solution de l’équation F ρ (γ) = 0. Nous venons
de remarquer que, si l’on n’a pas F ρ (0) = 0, l’origine 0 est « presque » une
solution de l’équation. Nous allons utiliser cette solution approximative
comme point de départ pour construire une vraie solution en utilisant la
méthode de Newton-Picard.
Dans le cas des fonctions f : R → R, on sait que celle-ci permet de
trouver un zéro α de f à partir d’une solution approchée x 0 comme limite
de la suite récurrente
x n+1 = x n −
f (x n )
f (x n )
.
Une variante est de trouver α comme limite de la suite
x n+1 = x n −
f (x n )
f (x 0 )
qui présente l’avantage de n’utiliser qu’une valeur de la dérivée et que nous
allons utiliser ici dans le cas de F ρ . Les deux méthodes sont représentées sur
la figure 6.
x 0
x 1
x 2
α
α
x 1
x 2
x 0
Figure 6