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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Bref, on a ainsi construit une (famille de) trivialisation(s) Z
ρ
i (s, t) le
long de w ρ . Chacune coïncide avec Z
u
i ou Z
v
i pour |s| assez grand et elles
convergent (dans C
∞
loc ) vers une trivialisation le long de y (voir la figure 5,
sur laquelle l’axe des t a été omis). La famille Z
ρ
i (s, t) est une fonction C
∞
de ρ.
ρ
s
ρ 1
+∞
Z
u
i (s + ρ, t)
Z
ρ
i (s, t)
Z
v
i (s − ρ, t)
Z
x
i (t)
Z
y
i (t)
Z
z
i (t)
−1
+1
Figure 5
Ce n’est pas tout à fait terminé : nous avons besoin de trivialisations
au voisinage de w ρ . Pour tous ρ, s et t, et pour tout vecteur tangent
ξ ∈ T wρ(s,t) W de norme inférieure au rayon d’injectivité, on construit
en utilisant le transport parallèle (voir au besoin le § 14.5) une base orthonormale (mais pas nécessairement unitaire) de T exp wρ (s,t) (ξ) W , notée
(Z
ρ,ξ
i (s, t)) i=1,...,2n .
Définition de F ρ . Pour tout ρ ≥ ρ 0 , on définit un opérateur
W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
F ρ
− −− → L
p (R × S
1 ; R
2n )
(y 1 , . . . , y 2n ) −→
∂
∂s
+ J
∂
∂t
+ grad H t
(exp wρ
y i Z
ρ
i )
Zi
formule dans laquelle le résultat est développé dans la base Z
ρ,
yiZ
ρ
i
i
et
dont on aura remarqué qu’elle ne définit pas un opérateur linéaire. L’application F ρ n’est autre que
F ρ = F ◦ exp wρ
écrite dans les bases Z i .
Remarque 9.4.2. L’application F ρ est bien définie sur les vecteurs (y 1 , . . . , y 2n )
de la boule
B (0, r 0 /K) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )