9.4. CONSTRUCTION DE ψ
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(2) pour s ∈ [−ε, ε], Y # ρ Z = 0 ;
(3) on a lim ρ→+∞ Y # ρ Z = 0 dans C
0
loc (et dans C
∞
loc si Y et Z sont de
classe C
∞ ).
Ces constructions étant faites, passons à la construction de notre paramétrage
ψ.
9.4. Construction de ψ
Pour tout ρ ≥ ρ 0 , on a construit un w ρ dans C
∞ (x, z). Il est même dans
C
∞
(x, z), grâce à la décroissance exponentielle (du § 8.9). On va maintenant
définir, pour tout ρ ≥ ρ 0 , ψ ρ ∈ M(x, z) (une vraie solution, donc), qui sera
de la forme
ψ ρ = exp wρ γ(ρ) pour un γ(ρ) ∈ T wρ P(x, z) = W
1,p (w
ρ T W ).
Remarque 9.4.1. Toujours en désignant par F l’opérateur « de Floer »
F =
∂
∂s
+ J
∂
∂t
+ grad H,
pour vérifier que ψ ρ est bien une solution, il suffira de vérifier que F(ψ ρ ) = 0
au sens faible. En effet, comme ψ ρ sera automatiquement continue (puisque
γ(ρ) ∈ W
1,p (w
ρ T W ) avec p > 2, γ(ρ) est continue), donc solution
forte et de classe C
∞ , toujours en application de la régularité elliptique
(l’énoncé 12.1.1).
Trivialisations. Nous allons écrire les équations en coordonnées. Pour ceci,
il nous faut des trivialisations du fibré T W sur les applications considérées.
Comme au chapitre 7, commençons par choisir des disques D x , D y et D z
bordés par nos lacets contractiles x, y et z. Puis fixons des trivialisations
unitaires
– (Z
u
i (s, t)) i=1,...,2n le long de u ∪ D x ∪ D y et
– (Z
v
i (s, t)) i=1,...,2n le long de v ∪ D y ∪ D z
qui coïncident le long de D y . Il reste à définir une trivialisation compatible
le long de w ρ . Pour ce faire, on définit, d’abord, bien sûr, pour ρ ≥ ρ 0 ,
Z
ρ
i (s, t) =
Z
u
i (s + ρ, t) si s ≤ −1
Z
v
i (s − ρ, t) si s ≥ 1.
On prolonge ensuite, pour s ∈ [−1, 1], cette trivialisation en une trivialisation unitaire le long de w ρ pour ρ ∈ [ρ 0 , +∞[ et de y(t) pour ρ = +∞ de
façon que, le long de y(t) = w ρ (0, t), elle coïncide avec les restrictions à y
de Z
u
i et de Z
v
i .