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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
u
v
x
z
w ρ
y = w ρ [−ε, ε]
v(1 − ρ) = w ρ (1)
u(ρ − 1) = w ρ (−1)
Figure 4
par
Y # ρ Z(s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Y (s + ρ, t)
T exp y(t)
β
− (s)T u(s+ρ,t) exp
−1
y(t) (Y (s + ρ, t))
+ β
+ (s)T v(s−ρ,t) exp
−1
y(t) (Z(s − ρ, t))
Z(s − ρ, t)
suivant que s est, respectivement, ≤ −1, dans [−1, 1] ou ≥ 1. Pour ne
pas allonger démesurément la formule, nous n’y avons pas fait figurer le
point où est prise l’application tangente à l’exponentielle, c’est-à-dire ici
β
− (s) exp
−1
y(t) (u(s + ρ, t)) + β
+ (s) exp
−1
y(t) (y(s − ρ, t)).
Remarque 9.3.1. On peut considérer la construction de w ρ à partir de u et v
comme une application
# ρ : C
∞ (x, y) × C
∞ (y, z) −→ C
∞ (x, z).
On peut alors aussi considérer Y # ρ Z comme l’image de (Y, Z) par l’application tangente
T (u,v) # ρ : T u P(x, y) × T v P(y, z) −→ T wρ P(x, z).
Le champ de vecteurs Y # ρ Z jouit de propriétés analogues à celles de w ρ ,
à savoir :
(1) On l’a dit, Y # ρ Z ∈ T wρ P(x, z), et c’est une application continue
comme élément de W
1,p (R × S
1 ; R
m ) ;