9.3. PRÉ-RECOLLEMENT
283
β
+
β
−
−1
+1
Figure 3
La formule définit bien quelque chose si, pour |s| ≤ 1, u(s+ρ, t) et v(s−ρ, t)
sont bien dans l’image de l’exponentielle, précisément dans
exp y(t) Y (t) | sup
t∈S 1
Y (t) ≤ r 0
.
Comme lim s→+∞ u(s, t) = y(t) = lim s→−∞ v(s, t), ceci est vrai pour ρ assez
grand, disons donc pour ρ ≥ ρ 0 .
La valeur de ρ 0 , qui pourra augmenter au fur et à mesure que le texte
avance, n’a pas à être précisée : convenons
(1) que « pour ρ ≥ ρ 0 » signifie
« pour ρ assez grand ».
Cette « interpolation » de u et v jouit des propriétés :
(1) w ρ ∈ C
∞ (x, z) ;
(2) pour s ∈ [−ε, ε], on a w ρ (s, t) = y(t) ;
(3) pour s ≤ ρ − 1, on a w ρ (s − ρ, t) = u(s, t), en particulier
lim
ρ→+∞
w ρ (s − ρ, t) = u(s, t) dans C
∞
loc ,
et de même, w ρ (s + ρ, t) = v(s, t) pour s ≥ 1 − ρ, donc w ρ (s + ρ, t) tend vers
v(s, t) dans C
∞
loc ;
(4) w ρ est une fonction dérivable de ρ ;
(5) w ρ (s, t) tend vers y(t) dans C
∞
loc quand ρ tend vers +∞.
La figure 4 montre assez schématiquement ce qui se passe (dans l’espace
de lacets LW ).
Voici maintenant la version « linéaire » de cette construction que nous
allons utiliser pour appliquer la méthode de Newton-Picard et construire
une vraie solution à partir de w ρ . Soient Y ∈ T u P(x, y) et Z ∈ T v P(y, z).
On définit, de façon analogue à w ρ ,
Y # ρ Z ∈ T wρ P(x, z) = W
1,p (w
ρ T W )
(1) Une convention que nous aurions aussi pu faire à d’autres endroits.