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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
(1) un « pré-recollement », où nous construirons une interpolation w ρ
entre les solutions u et v de l’équation de Floer, dépendant du paramètre ρ,
qui ne sera pas exactement une solution elle-même mais une solution « approchée » dans un sens que nous préciserons ;
(2) la construction de ψ, que nous exhiberons sous la forme
ψ(ρ) = exp wρ (γ(ρ))
pour un
γ(ρ) ∈ W
1,p (w
ρ T W ) = T wρ P(x, z)
tel que ψ(ρ) est une vraie solution de l’équation de Floer ; nous l’obtiendrons
à partir de w ρ par une variante de la méthode de Newton, due à Picard et
que nous appellerons « méthode de Newton-Picard » ;
(3) la vérification des trois propriétés désirées de
ψ = π ◦ ψ, à savoir
– lim ρ→+∞
ψ(ρ) = ( u,
v) ;
–
ψ est un plongement ;
– la propriété d’unicité.
Pour les démonstrations, nous aurons besoin d’estimations des dérivées
de l’application exponentielle et de l’opérateur de Floer. Leurs démonstrations ne sont pas difficiles, mais elles sont très longues (et certains lecteurs
pourront les trouver « moralement évidentes »). C’est pourquoi, et dans le
but de faciliter la lecture, que nous avons préféré les regrouper dans le chapitre 13. Nous signalerons ces lemmes techniques au fur et à mesure de leur
apparition dans le texte.
9.3. Pré-recollement
Choisissons une fois pour toutes deux fonctions de classe C
∞ , β
− et
β
+ : R → [0, 1] (figure 3), de façon que
β
− (s) =
1 pour s ≤ −1
0 pour s ≥ −ε
et β
+ (s) =
1 pour s ≥ 1
0 pour s ≤ ε.
Définissons la solution approchée w ρ par
w ρ (s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(s + ρ, t)
s i s ≤ −1
exp y(t)
β
− (s) exp
−1
y(t) (u(s + ρ, t))
+ β
+ (s) exp
−1
y(t) (v(s − ρ, t))
si s ∈ [−1, 1]
v(s − ρ, t)
s i s ≥ 1.