9.2. TRAJECTOIRES BRISÉES, RECOLLEMENT : ÉNONCÉS
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une « compactification » de l’espace de trajectoires L(a, b). Étudions plus
précisément sa structure lorsque la différence des indices de a et b est 2.
Théorème 9.2.1. Soit (H, J) un couple régulier (avec H non dégénéré).
Soient x et z deux trajectoires périodiques de H dont les indices satisfont à
μ(x) = μ(z) + 2.
Alors L(x, z) est une variété compacte à bord de dimension 1 et
∂L(x, y) =
μ(x)<μ(y)<μ(z)
L(x, y) × L(y, z).
Corollaire 9.2.2. Sous les hypothèses faites,
∂ ◦ ∂ = 0.
La suite de ce chapitre est consacrée à la démonstration de ce théorème.
Nous avons déjà montré, au § 9.1.c, que l’espace de trajectoires L(x, z) est
compact et que L(x, z) est une variété de dimension 1. Il suffit ainsi d’étudier
ce qui se passe au voisinage des points du bord. C’est ce que décrit le
théorème dit « de recollement » :
Théorème 9.2.3. Soient x, y et z trois points critiques de la fonctionnelle
d’action A H , d’indices consécutifs
μ(x) = μ(y) + 1 = μ(z) + 2
et soient (u, v) ∈ M(x, y) × M(y, z) représentant des trajectoires ( u,
v) ∈
L(x, y) × L(y, z). Alors
– il existe une application différentiable ψ : [ρ 0 , +∞[ → M(x, z) (pour un
certain ρ 0 > 0) telle que π ◦ ψ soit un plongement
ψ = π ◦ ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, z)
vérifiant
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = ( u,
v) ∈ L(x, z) ⊃ L(x, z),
– de plus, si n ∈ L(x, z) est une suite tendant vers ( u,
v), alors n ∈
Im(
ψ) pour n assez grand.
Remarque 9.2.4. La dernière assertion est tout aussi indispensable que son
analogue dans le cas de Morse (voir la remarque 3.2.8).
La démonstration est bien plus difficile ici que celle du résultat correspondant de théorie de Morse, la proposition 3.2.7. Nous allons procéder en
trois étapes :
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une « compactification » de l’espace de trajectoires L(a, b). Étudions plus
précisément sa structure lorsque la différence des indices de a et b est 2.
Théorème 9.2.1. Soit (H, J) un couple régulier (avec H non dégénéré).
Soient x et z deux trajectoires périodiques de H dont les indices satisfont à
μ(x) = μ(z) + 2.
Alors L(x, z) est une variété compacte à bord de dimension 1 et
∂L(x, y) =
μ(x)<μ(y)<μ(z)
L(x, y) × L(y, z).
Corollaire 9.2.2. Sous les hypothèses faites,
∂ ◦ ∂ = 0.
La suite de ce chapitre est consacrée à la démonstration de ce théorème.
Nous avons déjà montré, au § 9.1.c, que l’espace de trajectoires L(x, z) est
compact et que L(x, z) est une variété de dimension 1. Il suffit ainsi d’étudier
ce qui se passe au voisinage des points du bord. C’est ce que décrit le
théorème dit « de recollement » :
Théorème 9.2.3. Soient x, y et z trois points critiques de la fonctionnelle
d’action A H , d’indices consécutifs
μ(x) = μ(y) + 1 = μ(z) + 2
et soient (u, v) ∈ M(x, y) × M(y, z) représentant des trajectoires ( u,
v) ∈
L(x, y) × L(y, z). Alors
– il existe une application différentiable ψ : [ρ 0 , +∞[ → M(x, z) (pour un
certain ρ 0 > 0) telle que π ◦ ψ soit un plongement
ψ = π ◦ ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, z)
vérifiant
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = ( u,
v) ∈ L(x, z) ⊃ L(x, z),
– de plus, si n ∈ L(x, z) est une suite tendant vers ( u,
v), alors n ∈
Im(
ψ) pour n assez grand.
Remarque 9.2.4. La dernière assertion est tout aussi indispensable que son
analogue dans le cas de Morse (voir la remarque 3.2.8).
La démonstration est bien plus difficile ici que celle du résultat correspondant de théorie de Morse, la proposition 3.2.7. Nous allons procéder en
trois étapes :