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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
u
k
u
k (s
)
u n · s
k
n
u n (s
k
n + s
)
u n (s
k+1
n )
x k
x
B(x, ε)
u n (s
1
n )
Figure 2
un point critique x k+1 distinct de x k . On vérifie d’abord que s
k+1
n
− s
k
n tend
vers l’infini. En effet, si l’on suppose au contraire qu’elle est bornée, l’intervalle [s
, s
k+1
n
− s
k
n ] est contenu dans un intervalle compact fixe... sur lequel
u n · s
k
n converge uniformément vers u
k . Par suite, pour s ∈ [s
, s
k+1
n
− s
k
n ],
on a u n (s
k
n + s) ∈ B(x k , ε) et, en particulier, u n (s
k+1
n ) est dans cette boule
ouverte, une contradiction. Ainsi, s
k+1
n
− s
k
n tend bien vers +∞.
Soit s un réel strictement négatif. Pour n assez grand, on a
s
k
n + s
< s
k+1
n
+ s < s
k+1
n
de sorte que, d’après la définition de s
k+1
n , u n (s
k+1
n
+ s) ∈ B(x k , ε). Par
suite, pour tout s < 0, on a
u n · s
k+1
n
∈ B(x k , ε)
et par conséquent
u
k+1 (] − ∞, 0[) ⊂ B(x k , ε).
Pour s = 0, on a u n (s
k+1
n ) ∈ ∂B(x k , ε), donc à la limite,
u
k+1 (0) ∈ ∂B(x k , ε),
de sorte que u
k+1 doit sortir de la boule B(x k , ε), ce que nous voulions
démontrer.
9.2. Trajectoires brisées, recollement : énoncés
Nous avons montré, au § 9.1.c, qu’une suite de solutions de l’équation
de Floer joignant deux points critiques a et b pouvait converger vers une
« trajectoire brisée ». L’espace des trajectoires brisées apparaît ainsi comme