9.1. LES ESPACES DE TRAJECTOIRES
279
x
y
x 1
x
Figure 1
Par compacité de M (et à extraction près d’une sous-suite), la suite (u n · s
1
n )
converge vers un élément u
1 de M. Par définition de s
1
n , on a
d ∞ (u n (s), x) < ε
pour s < s
1
n
d ∞ (u n (s
1
n ), x) = ε
par suite, à la limite,
u
1 (s) ∈ B(x, ε) pour s < 0 et u
1 (0) ∈ ∂B(x, ε).
La limite u
1 est ainsi une trajectoire partant de x et sortant de la boule
B(x, ε), elle est donc dans un M(x, x 1 ) pour un x 1 ∈ Crit A H (distinct
de x). Si x 1 = y, on a fini (avec = 0). Sinon, on procède par récurrence :
on suppose qu’on a trouvé des suites (s
0
n ), . . . , (s
k
n ) et u
j
∈ M(x j−1 , x j )
(pour certains points critiques de A H ), avec x j = y et
lim
n→∞
u n · s
j
n = u
j .
La trajectoire u
k tend vers le point critique x k pour s tendant vers +∞, et
il existe un s
∈ R tel que
∀ s ≥ s
, u
k (s) ∈ B(x k , ε).
Puisque u n · s
k
n (s
) tend vers u
k (s
), on a aussi, pour n assez grand,
u n (s
k
n + s
) ∈ B(x k , ε).
Comme la trajectoire (u n ) tend vers y, que nous avons supposé différent
de x k , elle doit sortir de B(x k , ε) pour s > s
k
n + s
. On considère son
premier point de sortie, u n (s
k+1
n ), où
s
k+1
n
= sup
s ≥ s
k
n + s
| u n (σ) ∈ B(x k , ε) pour s
k
n + s
≤ σ ≤ s
.
Par compacité de M encore une fois (et à extraction près d’une sous-suite), la
suite u n · s
k+1
n
converge vers une limite u
k+1
∈ M. On veut montrer maintenant que la trajectoire u
k+1 en question est dans un espace M(x k , x k+1 ) pour