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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
Une fois ceci démontré, comme le bord d’une variété de dimension 1 est
constitué d’un nombre pair de points, on a
μ(y)=μ(x)+1
n(x, y)n(y, z) ≡ 0 mod 2,
c’est-à-dire ∂ ◦ ∂ = 0.
Il nous faut donc démontrer
– la compacité des espace L(x, y) (au § 9.1.c) ;
– la propriété d’être une variété à bord quand la différence des indices
est 2 (au § 9.2).
9.1.c. Trajectoires brisées. Comme nous l’avons vu au § 3.2 dans le
cas de dimension finie, dans l’adhérence des trajectoires joignant le point
critique x au point critique y, il y a des trajectoires « brisées », réunions de
trajectoires joignant d’autres points critiques. Le théorème qui vient décrit
plus précisément ce comportement.
Théorème 9.1.6. Soit (u n ) une suite d’éléments de M(x, y). Il existe
– une sous-suite de (u n ),
– des points critiques x 0 = x, x 1 , . . . , x , x +1 = y,
– des suites (s
k
n ) (pour 0 ≤ k ≤ )
– et des éléments u
k
∈ M(x k , x k+1 )
tels que, pour tout k = 0, . . . , ,,
lim
n→∞
u n · s
k
n = u
k .
Remarque 9.1.7. La proposition 9.1.2 donne aussi l’unicité de la limite dans
ce cadre : l’un des points critiques, x, était fixé, les deux autres, z et w, non.
Ce théorème définit la convergence des suites dans L(x, z). La proposition 9.1.2 montre que la limite est unique. Ainsi, on définit une topologie
séparée sur l’espace L(x, z) et, bien sûr, elle est telle que cet espace est
compact :
Corollaire 9.1.8. L’espace L(x, z) est compact.
Démonstration du théorème 9.1.6. Nous utilisons ici les notations de la
démonstration du théorème 6.5.6, en particulier, ε est assez petit pour que
les boules de rayon ε centrées aux points critiques de A H soient disjointes.
Pour u ∈ M, on note u(s) ∈ LW le lacet u(s, t).
Vue comme une trajectoire dans LW , u n doit sortir de B(x, ε), puisqu’elle
finit par aboutir en y. Appelons u n (s
1
n ) son premier point de sortie,
s
1
n = inf {s ∈ R | d ∞ (u n (s), x) > ε} .