9.1. LES ESPACES DE TRAJECTOIRES
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Puisque u n (s 1 , ·) → u(s 1 , ·), alors, pour n assez grand,
A H (u n (s 1 , ·)) ≤ α + ε.
D’où l’on déduit que
s 0 + σ n < s 1
pour tout n, en contradiction avec le fait que σ n n’est pas majorée.
Donc σ n − s n est bornée et donc elle possède une sous-suite convergente,
disons lim(σ n − s n ) = s 0 . Pour s fixé, la suite s + σ n − s n reste dans un
compact fixé. Donc u n (s + σ n , ·) → v(s, ·) d’une part et vers u(s + s 0 ) de
l’autre.
Remarque 9.1.4. En théorie de Morse, pour montrer que les espaces de trajectoires d’un pseudo-gradient sont séparés, on a regardé l’intersection avec
un niveau de la fonction. Ici on a aussi
L(x, y) ∼ = M
α (x, y) = {u ∈ M(x, y) | A H (u(0)) = α}
toujours en utilisant le fait que A H est décroissante sur les trajectoires. On a
aussi le fait que
M
α (x, y) × R −→ M(x, y)
(x, σ) −→ u(s + σ, t)
est un difféomorphisme.
Remarque 9.1.5. Si x = y, alors M(x, y) est constitué de la solution constante
(en s) égale à x. Si x = y, L(x, y) est une variété de dimension μ(x)−μ(y)−1
(l’opération de R est libre d’après la remarque précédente). Si μ(x) = μ(y)
mais x = y, alors M(x, y) est vide et L(x, y) aussi.
9.1.b. Ce qu’il faut faire, pour définir les n(x, y) et montrer que
∂ ◦ ∂ = 0. Considérons le cas de deux points critiques dont la différence des
indices est
– égale à 1 ; alors L(x, y) est une variété de dimension 0 compacte (ce
qui reste à démontrer) et n(x, y) = #L(x, y) ;
– égale à 2, μ(x) = μ(z)+2 ; alors L(x, z) est une variété de dimension 1 ;
on regarde
L(x, z) = L(x, z) ∪
μ(y)=μ(x)+1
L(x, y) × L(y, z)
et on démontre que c’est une variété de dimension 1, à bord la réunion des
L(x, y) × L(y, z), et qu’elle est compacte.