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CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
que l’espace M des solutions contractiles d’énergie finie de l’équation de
Floer est réunion des espaces M(x, y).
Revenons maintenant à l’opération de R sur M utilisée dans les démonstrations précédentes. Notons
L(x, y) = M(x, y)/R
l’espace des trajectoires joignant x à y (supposés distincts). Il est muni de la
topologie quotient. Dans celle-ci, une suite
u n converge vers un élément
u si
et seulement si il existe une suite s n de réels telle que u n (s n + s, ·) → u(s, ·)
dans M(x, y).
Remarque 9.1.1. On fait ici une distinction entre solution (paramétrée), élément de M, et trajectoire (non paramétrée), élément de L.
Proposition 9.1.2. Soient x et y deux points critiques distincts de A H et
soient u n ∈ M(x, y), s n ∈ R, σ n ∈ R. Supposons que
lim u n (s n + s, ·) = u ∈ M(x, z) et lim u n (σ n + s, ·) = v ∈ M(x, w)
pour deux points critiques z et w distincts de x. Alors z = w et u et v
coïncident à l’opération de R près, en d’autres termes, il existe un s 0 tel
que u(s 0 + s, t) = v(s, t).
Corollaire 9.1.3. La topologie quotient sur L(x, y) est séparée.
En effet la proposition donne l’unicité de la limite d’une suite convergente
dans L(x, y).
Démonstration de la proposition. Comme x = y et u n ∈ M(x, y), A H (x) >
A H (y) et de même avec z et w. Choisissons donc un réel α tel que
A H (x) > α > sup(A H (y), A H (z), A H (w))
et un ε > 0 tel que
A H (x) − ε > α + ε.
Supposons d’abord que la suite σ n −s n n’est pas bornée. On peut supposer
que s n = 0 et que la suite σ n n’est pas majorée. Elle a une sous-suite tendant
vers +∞. En s = −∞, v part du point critique x, il existe donc un s 0 tel
que
s ≤ s 0 =⇒ A H (v(s, t)) > A H (x) − ε.
Mais u n (s 0 + σ n , ·) tend vers v(s 0 , ·), donc, pour n assez grand, on a aussi
A H (u n (s 0 + σ n , ·) > A H (x) − ε.
On utilise le fait que la solution u tend vers z pour s → +∞, donc il existe
un s 1 tel que
s ≥ s 1 =⇒ A H (u(s, ·)) ≤ α.
CHAPITRE 9. ESPACES DE TRAJECTOIRES
que l’espace M des solutions contractiles d’énergie finie de l’équation de
Floer est réunion des espaces M(x, y).
Revenons maintenant à l’opération de R sur M utilisée dans les démonstrations précédentes. Notons
L(x, y) = M(x, y)/R
l’espace des trajectoires joignant x à y (supposés distincts). Il est muni de la
topologie quotient. Dans celle-ci, une suite
u n converge vers un élément
u si
et seulement si il existe une suite s n de réels telle que u n (s n + s, ·) → u(s, ·)
dans M(x, y).
Remarque 9.1.1. On fait ici une distinction entre solution (paramétrée), élément de M, et trajectoire (non paramétrée), élément de L.
Proposition 9.1.2. Soient x et y deux points critiques distincts de A H et
soient u n ∈ M(x, y), s n ∈ R, σ n ∈ R. Supposons que
lim u n (s n + s, ·) = u ∈ M(x, z) et lim u n (σ n + s, ·) = v ∈ M(x, w)
pour deux points critiques z et w distincts de x. Alors z = w et u et v
coïncident à l’opération de R près, en d’autres termes, il existe un s 0 tel
que u(s 0 + s, t) = v(s, t).
Corollaire 9.1.3. La topologie quotient sur L(x, y) est séparée.
En effet la proposition donne l’unicité de la limite d’une suite convergente
dans L(x, y).
Démonstration de la proposition. Comme x = y et u n ∈ M(x, y), A H (x) >
A H (y) et de même avec z et w. Choisissons donc un réel α tel que
A H (x) > α > sup(A H (y), A H (z), A H (w))
et un ε > 0 tel que
A H (x) − ε > α + ε.
Supposons d’abord que la suite σ n −s n n’est pas bornée. On peut supposer
que s n = 0 et que la suite σ n n’est pas majorée. Elle a une sous-suite tendant
vers +∞. En s = −∞, v part du point critique x, il existe donc un s 0 tel
que
s ≤ s 0 =⇒ A H (v(s, t)) > A H (x) − ε.
Mais u n (s 0 + σ n , ·) tend vers v(s 0 , ·), donc, pour n assez grand, on a aussi
A H (u n (s 0 + σ n , ·) > A H (x) − ε.
On utilise le fait que la solution u tend vers z pour s → +∞, donc il existe
un s 1 tel que
s ≥ s 1 =⇒ A H (u(s, ·)) ≤ α.