CHAPITRE 9
HOMOLOGIE DE FLOER :
ÉTUDE DES ESPACES DE TRAJECTOIRES
Considérons maintenant un hamiltonien générique H (au sens du théorème 8.1.1) sur une variété symplectique W satisfaisant aux hypothèses
6.2.1 et 6.2.2 (par exemple parce que π 2 (W ) = 0 ou parce que W est le fibré
cotangent d’une variété V ).
On peut donc considérer les orbites périodiques d’indice de Maslov fixé.
On note C k (H) l’espace vectoriel sur Z/2 de base les orbites périodiques
d’indice de Maslov k. Nous savons que ces orbites sont en nombre fini,
puisque l’hypothèse de non-dégénérescence assure qu’elles sont isolées. On
définit ensuite la différentielle du complexe à l’aide du flot du gradient de
la fonctionnelle d’action A H ,
∂ : C k (H) −→ C k−1 (H)
∂(x) =
Ind(y)=k−1
n(x, y)y
par
où n(x, y) désigne le nombre (modulo 2) de trajectoires du gradient de A H
(c’est-à-dire de solutions de l’équation de Floer) reliant x à y. Le fait que
n(x, y) soit bien défini (et un nombre fini) sera une conséquence du fait que,
sous les hypothèses faites, l’espace L(x, y) des trajectoires reliant x à y est
une variété compacte de dimension 0 (voir le § 8.5).
Il restera alors à démontrer que l’on a bien défini un complexe, c’est-à-dire
que ∂ ◦ ∂ = 0. Pour ceci, comme au § 3.2.c, il faut étudier plus précisément
l’espace M(x, y), quand la différence des indices est 2.
9.1. Les espaces de trajectoires
9.1.a. L’espace L(x, y) et sa topologie. Si x et y sont des points
critiques de A H , rappelons que M(x, y) désigne l’espace des solutions
(contractiles, d’énergie finie) joignant x à y. On a montré (théorème 6.5.6)
HOMOLOGIE DE FLOER :
ÉTUDE DES ESPACES DE TRAJECTOIRES
Considérons maintenant un hamiltonien générique H (au sens du théorème 8.1.1) sur une variété symplectique W satisfaisant aux hypothèses
6.2.1 et 6.2.2 (par exemple parce que π 2 (W ) = 0 ou parce que W est le fibré
cotangent d’une variété V ).
On peut donc considérer les orbites périodiques d’indice de Maslov fixé.
On note C k (H) l’espace vectoriel sur Z/2 de base les orbites périodiques
d’indice de Maslov k. Nous savons que ces orbites sont en nombre fini,
puisque l’hypothèse de non-dégénérescence assure qu’elles sont isolées. On
définit ensuite la différentielle du complexe à l’aide du flot du gradient de
la fonctionnelle d’action A H ,
∂ : C k (H) −→ C k−1 (H)
∂(x) =
Ind(y)=k−1
n(x, y)y
par
où n(x, y) désigne le nombre (modulo 2) de trajectoires du gradient de A H
(c’est-à-dire de solutions de l’équation de Floer) reliant x à y. Le fait que
n(x, y) soit bien défini (et un nombre fini) sera une conséquence du fait que,
sous les hypothèses faites, l’espace L(x, y) des trajectoires reliant x à y est
une variété compacte de dimension 0 (voir le § 8.5).
Il restera alors à démontrer que l’on a bien défini un complexe, c’est-à-dire
que ∂ ◦ ∂ = 0. Pour ceci, comme au § 3.2.c, il faut étudier plus précisément
l’espace M(x, y), quand la différence des indices est 2.
9.1. Les espaces de trajectoires
9.1.a. L’espace L(x, y) et sa topologie. Si x et y sont des points
critiques de A H , rappelons que M(x, y) désigne l’espace des solutions
(contractiles, d’énergie finie) joignant x à y. On a montré (théorème 6.5.6)